[Integral Dupla] Em coordenadas polares

por **RenatoP** » Qui Fev 21, 2013 16:40

Olá,
Estou com o seguinte problema:

Calcular a integral $\int_R\int \sqrt{(x^2 + y^2)} dA$ sendo R a região interna a circunferência de centro (0,1) e raio 1, e entre as retas y=x e x=0 (usar coordenadas polares).

A área é essa:
Imagem

Minha primeira tentativa foi dividir em duas regiões R1 e R2, sendo:

R1: O quarto de circulo superior, ficando:
$0 \leq r \leq 1$
e
$0 \leq \theta \leq \pi/2$

R2: O quarto de cirulo inferior, ficando:

$3\pi/2 \leq \theta \leq 2\pi$

Porém eu esbarro na hora de definir os limites do "r", pois a reta x=y eu não consigo transformar para polar.

Alguma dica para me ajudar?

por **young_jedi** » Sex Fev 22, 2013 00:40

nos temos que a circunferencia tem equação

x^2+(y-1)^2=1

em cooredenada polares

$(r.cos(\theta))^2+(r.sen(\theta)-1)^2=1$

$r^2.cos^2(\theta)+r^2.sen^2(\theta)-2r.sen(\theta)+1=1$

$r=2.sen(\theta)$

como a intersecção da reta se com a circunferencia se da em (1,1)

então neste ponto o angulo teta é igual a 45º
portanto a integral sera

$0\leq r\leq sen(\theta)$

$0\leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$

por **RenatoP** » Sex Fev 22, 2013 10:40

Humm.. é bem mais fácil do que eu estava pensando hehe

Consegui a resposta: $\frac{\pi}{12}\sin^3\theta$

Estou correto?

Obrigado, ate mais...

por **young_jedi** » Sex Fev 22, 2013 12:25

na verdade a integral vai ficar

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{2.sen\theta}\sqrt{r^2}.r.dr.d\theta$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{2.sen\theta}r^2.dr.d\theta$

integrando em r

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{8.sen^3(\theta)}{3}d\theta$

agora integrando em teta

por u du

$u=cos(\theta)$

$du=-sen(\theta)d\theta$

$\frac{8}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1-cos^2(\theta))sen(\theta)d\theta$

$-\frac{8}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1-u^2)du$

$-\frac{8}{3}\left(u-\frac{u^3}{3}\right)$

$-\frac{8}{3}\left(cos(\theta)-\frac{cos^3(\theta)}{3}\right)\Bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

$-\frac{8}{3}\left(\frac{\sqrt2}{2}-\frac{2\sqrt2}{3.8}\right)+\frac{8}{3}\left(1-\frac{1}{3}\right)$

$\frac{16}{9}-\frac{10\sqrt2}{9}$