Produto Interno

por **Claudin** » Qua Fev 20, 2013 02:01

Calcule

Definição do produto interno: $\int_{0}^{1}f(t)g(t)dt$

g(t)=t^3+t+1

e

por **LuizAquino** » Qua Fev 20, 2013 09:33

Claudin escreveu:Calcule

Definição do produto interno: $\int_{0}^{1}f(t)g(t)dt$

e

Como você já deve saber, temos que uma das propriedades do produto interno é:

$\langle u,\,u \rangle = \|u\|^2$

Usando então essa propriedade, temos que:

$\langle f(t)+g(t),\,f(t)+g(t) \rangle = \|f(t) + g(t)\|^2$

Usando a definição de produto interno que foi dada, temos que:

$\int_0^1 [f(t)+g(t)][f(t)+g(t)]\, dt = \|f(t) + g(t)\|^2$

Substituindo as expressões de f(t) e g(t) que foram dadas, podemos obter:

$\int_0^1 \left(t^3 + t + 3\right)^2\, dt = \|f(t) + g(t)\|^2$

Agora tente concluir o exercício a partir daí.

por **Claudin** » Qua Fev 20, 2013 10:08

O correto nao seria

$||f(t)+g(t)||=\sqrt[]{<f(t)+g(t)>}=$

$\sqrt[]{(<f(t),f(t)>+2<f(t)+g(t)+<g(t)+g(t)>)}$

por **LuizAquino** » Qua Fev 20, 2013 10:27

Claudin escreveu:O correto nao seria

$||f(t)+g(t)||=\sqrt[]{<f(t)+g(t)>}=$

$\sqrt[]{(<f(t),f(t)>+2<f(t)+g(t)+<g(t)+g(t)>)}$

Apenas corrigindo o que você escreveu, temos que:

$||f(t)+g(t)||=\sqrt[]{\langle f(t)+g(t),\,f(t)+g(t)\rangle}=$

$\sqrt[]{\langle f(t),\,f(t)\rangle+2\langle f(t),\,g(t)\rangle+\langle g(t),\,g(t)\rangle}$

Agora pense um pouco... Se você sabe que $\langle u,\,u \rangle = \|u\|^2$ , então fica claro que $\|u\| = \sqrt{\langle u,\,u \rangle}$ . Desse modo, você pode usar qualquer uma das duas formas.

E pesando mais um pouco, você pode perceber que:

$\int_0^1 [f(t)+g(t)][f(t)+g(t)]\, dt = \int_0^1 f(t)f(t) +2f(t)g(t) + g(t)g(t)\, dt$

$= \int_0^1 f(t)f(t)\,dt + 2\int_0^1 f(t)g(t)\,dt + \int_0^1 g(t)g(t)\, dt$

$= \langle f(t),\,f(t) \rangle + 2\langle f(t),\,g(t) \rangle + \langle g(t),\,g(t) \rangle$

Conclusão: o que eu fiz é equivalente ao que você tentou dizer.

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