Integral com aplicaçao

por **menino de ouro** » Dom Jan 13, 2013 17:11

pessoal como faço para calcular e fazer o gráfico dessa questão:

Esboce a região e ache a área da região compreendida entre o gráfico de x = $\sqrt[]{y}$ e as retas

x = y ? 2 e y =0

por **Russman** » Dom Jan 13, 2013 19:37

Primeiramente você deve desenhar as funções e em seguida observar a área que foi "cercada" por elas.

: ScreenHunter_01 Jan. 13 19.13.gif (3.82 KiB) Exibido 9438 vezes

A área varrida vai de x=-2

até

, uma vez que a reta x = y-2

intersecta a y=0

em

e a função $x = \sqrt{y}$ ( que só se define para x > 0

) intersecta a mesma reta em x=2

.

Demo:

1) x = y-2 = 0-2 = -2

2) $\sqrt{y} = y-2 \Rightarrow y = y^2 - 4y + 4 \Rightarrow y^2 - 5y +4=0\Rightarrow y= \left\{\begin{matrix} 4\\ 1 \end{matrix}\right.$

Porem, y=1

gera

que não pertence ao domínio da função. Assim, ficamos com x = 4-2 = 2

que pertence.

Podemos agora fazer uma subtração de áreas para calcular a de interesse. Calculamos a área da reta $[tex]x=y-2 \Rightarrow y=x+2$ [/tex] de x=-2

até

e subtraímos a área de $x= \sqrt{y}$ de x=0

até

. Dessa forma,

$S = \int_{-2}^{2} \left (x+2 \right ) dx - \int_{0}^{2} \left (x^2 \right ) dx$ .

Agora basta calcular.

por **menino de ouro** » Dom Jan 13, 2013 20:47

qual dessas duas esta correta na expressao( s ) ?

$\int_{}^{}x^2 ,ou \int_{}^{} {x}^{1/2$

por **Russman** » Dom Jan 13, 2013 20:59

Estamos integrando em

. Assim, devemos expressar a função integrante como função de

.

Se $x = \sqrt{y}$ então y = x^2

, para

.

por **menino de ouro** » Dom Jan 13, 2013 21:59

Resolvendo,

$\int_{-2}^{2}xdx+\int_{-2}^{2}2dx-\int_{0}^{2}x^2dx$

$\frac{(2)^2}{2}-(\frac{(-2)^2}{2})+2(2)-2(-2)-\frac{(2)^3}{3}-\frac{(0)^3}{3}=$

$0+8-\frac{8}{3}= \frac{16}{3}$