Qual a definição geométrica de base?

por **joaofonseca** » Dom Dez 16, 2012 19:37

Estou a estudar espaços vetorias e não estou a conseguir materializar o conceito de base de um espaço vetorial.

Sei que só será possível materializar este conceito em $\mathbb{R}^2$ e em $\mathbb{R}^3$ . O propósito de materializar este conceito é de posteriormente entender os conceitos "mudança de base" e "matriz mudança de base".

Já pesquisei na internet e não encontrei nada. Alguém sabe onde posso encontrar material académico com que possa exclarecer a minha dúvida?

Obrigado

por **Jhenrique** » Seg Dez 17, 2012 12:37

Gosto de perguntas conceituais como a sua. Mas infelizmente essa eu ñ sei.

O livro "Geometria Analítica - Um Tratamento Vetorial" do Paulo Boulos & Ivan de Camargo tem alguns assuntos sobre mudança de base.

por **MarceloFantini** » Seg Dez 17, 2012 15:23

Em que você está pensando quando diz materializar? O propósito de uma base é simplificar: pelo próprio nome, qualquer outro elemento do espaço vetorial pode ser escrito como combinação linear destes, portanto sabendo os efeitos de uma transformação sobre eles você saberá todos os efeitos sobre o espaço.

por **joaofonseca** » Seg Dez 17, 2012 20:47

Quando falo em materializar, estou-me a referir a desenhar no plano cartesiano.
Eu sei que uma base é um sistema/conjunto de vectores linearmente independentes que geram um espaço vetorial. Mas como um mesmo espaço vetorial pode ter diferentes bases, como posso diferencia-las no plano, desenhando-as?

por **MarceloFantini** » Seg Dez 17, 2012 21:12

O problema de pensar assim é quando encontramos espaços vetoriais não geométricos, como o espaço das matrizes $2 \times 2$ , o espaço das funções contínuas no intervalo [0,1]

, etc. Prender-se a este tipo de visualização geométrica apenas servirá para prejudicar.

No caso particular de $\mathbb{R}^2$ , tome por exemplo a base $\{ (0,1), (1,1) \}$ . Então os eixos coordenados são dois eixos fazendo 45° entre si.

por **joaofonseca** » Ter Dez 18, 2012 07:07

MarceloFantini,
Significa que nesse exemplo, em vez de termos um referencial ortognal tal como o conhecemos, temos um referencial "inclinado"?!?!

Eu sei que a visualização deste conceito só servirá para $\mathbb{R}^2$ ou para $\mathbb{R}^3$ , mas para ententer o conceito mudança de base eu necessito de entender em que se diferenciam bases diferentes do mesmo espaço vetorial. Assim a melhor forma é começar por espaços vetoriais que eu possa visualizar.

Obrigado pela explicação

por **MarceloFantini** » Ter Dez 18, 2012 07:55

Sim, teremos um referencial inclinado. É um referencial como outro qualquer. A questão é que estamos acostumados a trabalhar com bases ortonormais, isto é, cujos elementos dois a dois são ortogonais e com normas unitárias. Um pouco adiante você verá que é sempre possível ortogonalizar uma dada base pelo processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, uma vez que unitarizar os vetores é fácil.

O conceito de mudança de base é muito importante. Por que? Ora, não é apenas para simplificar contas (ou dificultá-las, nos exercícios de álgebra linear). Sabendo que podemos mudar de base, isto significa que as propriedades do espaço vetorial permanecem invariante sob base. Em outras palavras, as características interessantes de um espaço vetorial são intrínsecas, e isto abre novos caminhos. Transformações lineares entre espaços vetoriais também gozam desta propriedade, o que significa que propriedades dessas transformações podem ser estudados sem referência a uma base particular, o que não necessariamente acontece em outros contextos da matemática.

É por isso que em diversos livros de álgebra linear encontram-se demonstrações sem 'contas'. Esta é frequentemente a grande vantagem da álgebra linear: obter informações a respeito de estruturas e operadores sem qualquer menção a um ambiente específico, como uma base.