primitivação por substituiçao

por **rodrigonapoleao** » Seg Dez 17, 2012 20:39

Como primitivo por substituição a seguinte função $f(x)= \frac{x+\sqrt[]{x}}{x-\sqrt[]{x}}$ ?

por **e8group** » Seg Dez 17, 2012 21:38

Note que ,

$\frac{x+ \sqrt{x}}{ x-\sqrt{x}} = \frac{x^2 + 2x\sqrt{x} + x}{x^2 - x} = \frac{x + 2 \sqrt{x} + 1}{x - 1}$ desde que x > 0

e $x \neq 1$ . Como sugestão , faça $u = \sqrt{x}$ .Comente qual quer coisa .

por **rodrigonapoleao** » Seg Dez 17, 2012 22:15

se $u = \sqrt{x}$ ficaria $\frac{{u}^{2}+u}{{u}^{2}-u}$
mas como escrevo a derivada de u? preciso de utiliza-la na expressão da primitivação por substituiçao e nao sei como

por **e8group** » Seg Dez 17, 2012 23:22

Isso mesmo , veja como fica

$2 \int \left(\frac{u^2 + u}{u^2 -u} \right)u du = 2 \cdot \int \left(\frac{u^2 +u}{u - 1}\right ) du = 2 \cdot \left( \int \frac{u^2}{u-1} du + \int du -\int \frac{1}{u-1} du\right ) = 2 \cdot \left(\int \frac{(u-1)(u+1) }{u-1} du + \int du -2 \int \frac{1}{u-1}du\right ) = 2 \cdot \left(\int (u+1)du + \int du - 2\int \frac{1}{u-1}du\right) = 2 \cdot \left( \int u du + 2 \int du - 2\int \frac{1}{u-1}du \right ) = 2\cdot \left(\frac{u^2}{2} + 2u - 2ln(u-1) + c\right ) = x + 4 \sqrt{x} - 4 ln(\sqrt(x)-1) + c$

Não sei se ficou didatico , pois omitir algumas contas ,mas qualquer dúvida só postar algo .

por **rodrigonapoleao** » Ter Dez 18, 2012 10:28

se u= $\sqrt[]{x}$ então u' = $\frac{1}{2 \sqrt[]{x}}$ ? não estou a entender de onde vem o 2

por **e8group** » Ter Dez 18, 2012 21:58

Sim , pois $u' = (\sqrt{x} )' = (x^{1/2} )' = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}- 1 } = \frac{1}{2} \cdot x^{-1/2} = \frac{1}{2 \cdot x^{1/2} } = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}$ .

Ficou claro ?