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[Sistema Linear]

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Mensagempor hygorvv » Seg Dez 17, 2012 20:19

Olá galera, boa noite.
Estou em dúvida de como prosseguir após chegar em uma determinada matriz. Segue o enunciado e até onde eu parei.

Sendo A=\begin{pmatrix}
 a & 1 & -1 & a & 0 \\
 0 & (a+1) & 1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 0 & (a+1) & b
\end{pmatrix} uma matriz ampliada de um sistema. Determinar os valores de a e b para que o sistema tenha infinitas soluções, uma solução e não tenha solução.

Escalonei até:
\begin{pmatrix}
 1 & -1 & 0 & -(a+1) & -b \\
 0 & (a+1) & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & \frac{a(a+2)-1}{-2} & \frac{ab-1}{-2}
\end{pmatrix}

Não sei como concluir e se estou no caminho certo, alguma sugestão?

Agradeço desde já.
hygorvv
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Re: [Sistema Linear]

Mensagempor e8group » Seg Dez 17, 2012 23:44

Antes de tudo , é importante você saber quando terá infinitas soluções um sistema .Este sistema , tem 3 equações para 4 incógnitas ,isto implica que teremos uma variável em função da outra .Isto pode ser que caracteriza um sistema com infinitas soluções ,depende da circunstância .Nisto que entra as devidas condições para a e b .Mas lembre-se , quando temos uma linha inteira composta por zeros , vamos ter infinitas soluções .Para cada linha composta por zeros implica uma variável em função da outra . E quando não há solução , ocorre o seguinte \begin{pmatrix}  0  & 0 &  \hdots  &  0     \end{pmatrix} \begin{pmatrix}  x_1  \\ x_2 \\  \vdots  \\  x_n     \end{pmatrix} = b_i com b_i \neq  0 . E , é fácil ver que , \begin{pmatrix}  0x_1  + 0x_2 +  \hdots  + 0x_n     \end{pmatrix}   = 0  \neq b_i .
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Re: [Sistema Linear]

Mensagempor hygorvv » Seg Dez 17, 2012 23:50

Obrigado colega, pela ajuda.
Infelizmente, não consegui associar seu comentário de tal forma que possa me auxiliar a resolver o problema. Se puder dar alguma dica, ficarei muito agradecido :D

Até breve.
hygorvv
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Re: [Sistema Linear]

Mensagempor e8group » Ter Dez 18, 2012 06:30

O que eu quero dizer é , antes de aplicar as operações elementares ,é muito importante você saber quando um sistema tem infitas soluções ou o não tem . Você possui este conhecimento ? No mais , se vc não errou contas , pode continuar aplicando operações elementares ou reescrever a matriz escalonada em um sistema e utilizar o método de substituição . E ,por último analisar as condições sobre a e b conforme o enunciado . Estou sem tempo agora , se eu puder entro mais tarde para ajudar . Como dica ,utilize o wolframalpha veja um exemplo cujo comando de entrada é : row reduce {{2,1,0,-3},{3,-1,0,1},{1,4,-2,-5}} , resultado : http://www.wolframalpha.com/input/?i=ro ... 7D%7D&lk=3 . Até a próxima .
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Re: [Sistema Linear]

Mensagempor hygorvv » Ter Dez 18, 2012 08:48

Olá, bom dia!

Este conhecimento eu possuo, o que não consigo chegar é na conclusão (na verdade, estou um pouco inseguro quanto a minha conclusão). Para mim, sempre haverá solução para todo a e b e ainda, infinitas soluções.

Agradeço pela atenção .
Até breve.
hygorvv
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Re: [Sistema Linear]

Mensagempor e8group » Ter Dez 18, 2012 21:51

Vou começar desde inicio , ok ! Vamos ver oque acontece .


Temos :
\begin{pmatrix} a & 1  & - 1 & a  & 0 \\  0 &  a+1 &  1  &  1 & 1 \\ -1 &1  &  0  & a+1  & b\end{pmatrix} .


L_1    \leftrightarrow L_3  \sim  \begin{pmatrix} -1 &1  &  0  & a+1  & b \\  0 &  a+1 &  1  &  1 & 1 \\ a & 1  & - 1 & a  & 0\end{pmatrix}

Caso 1 : Assmuindo a \neq 0 .

a \cdot  L_1 + L_3  \rightarrow L_3  \sim \begin{pmatrix} -1 &1  &  0  & a+1  & b \\  0 &  a+1 &  1  &  1 & 1 \\ 0 &a+ 1  & - 1 & a(a+2)  & ba\end{pmatrix}

L_3  + L_2  \sim \begin{pmatrix} -1 &1  &  0  & a+1  & b \\  0 &  2(a+1) &  0  &  1 + a(a+2) & 1 + ba \\ 0 &a+ 1  & - 1 & a(a+2)  & ba\end{pmatrix}

Caso 2 : Assumindo a + 1 \neq  0


([a+1]2)^{-1} L_2 \rightarrow  L_2 \sim \begin{pmatrix} -1 &1  &  0  & a+1  & b \\  0 &  1 &  0  &  \frac{1 + a(a+2)}{2(a+1)} & \frac{1 + ba}{2(a+1)} \\ 0 &a+ 1  & - 1 & a(a+2)  & ba\end{pmatrix}

- L_2 + L_1 \rightarrow L_1  ,   - (a+1)L_2 + L_3 \rightarrow L_3 \sim \begin{pmatrix} -1 &0  &  0  & a+1 - \left(\frac{1 + a(a+2)}{2(a+1)} \right) & b  - \left( \frac{1 + ba}{2(a+1)}\right )\\  0 &  1 &  0  &  \frac{1 + a(a+2)}{2(a+1)} & \frac{1 + ba}{2(a+1)} \\ 0 &0  & - 1 & a(a+2) - \left( \frac{1 + a(a+2)}{2} \right )  & -1\end{pmatrix}

E por fim ,

\sim  \begin{pmatrix} 1 &0  &  0  & -(a+1) + \left(\frac{1 + a(a+2)}{2(a+1)} \right) &- b  + \left( \frac{1 + ba}{2(a+1)}\right )\\  0 &  1 &  0  &  \frac{1 + a(a+2)}{2(a+1)} & \frac{1 + ba}{2(a+1)} \\ 0 &0  &  1 & -a(a+2) + \left( \frac{1 + a(a+2)}{2} \right )  & 1\end{pmatrix}

Note que , se assurmirmos a  = - 1 o sistema não tem solução .(Verifique ! )

E se a =  0 ,


\begin{pmatrix} 1 &0  &  0  & -(0+1) + \left(\frac{1 + 0(0+2)}{2(0+1)} \right) &- b  + \left( \frac{1 + b0}{2(0+1)}\right )\\  0 &  1 &  0  &  \frac{1 + 0(0+2)}{2(0+1)} & \frac{1 + b0}{2(0+1)} \\ 0 &0  &  1 & -0(0+2) + \left( \frac{1 + 0(0+2)}{2} \right )  & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &0  &  0  & 0 &- b  +  \frac{1}{2}\\  0 &  1 &  0  &  \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 &0  &  1 &  \frac{1}{2}   & 1\end{pmatrix}

Para a =  0 , para quais valores que b assumir o sistema terá infinitas soluções e para qual valor terá não solução ?

E se a \neq 0 quais valores que b assumirá ?

Tente responder isto .


Se não errei alguma conta é isto .
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Re: [Sistema Linear]

Mensagempor hygorvv » Qua Dez 19, 2012 20:09

Entendi o que você fez.

Mas uma salva.
Se você assumiu que a \ne -1, e logo após você disse que se a=-1 o sistema não tem solução.

A prósito, se a=-1, o sistema pode ter infinitas soluções ou ser impossível. Tudo irá depender do valor de b.
Exemplo, se b=1 - infinitas soluções
se b \ne 1 - impossível.
certo?

Enfim, agradeço pela ajuda.
Creio que somente deixando a matriz aumentada na forma escalonada já conseguimos resolver analisando as possibilidades.

Abraço e até breve.
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Re: [Sistema Linear]

Mensagempor e8group » Qua Dez 19, 2012 20:40

Estar correto seu comentário . Uma observação ,perceba que a medida que fomos aplicando as operações elementares na matriz aumentada, tivermos restrições sobre a para a existência de tal operação elementar .Uma delas foi E_2 ( (2(a+1))^{-1} ) esta notação é o mesmo que \frac{1}{2(a+1)} L_2 \rightarrow L_2 . Neste caso assumirmos a \neq - 1 . Seu comentário foi importante , não necessariamente se a =  - 1 quer dizer que a o sistema linear não tem solução, o que acontece é que se a = - 1 não existe a operação E_2 ( (2(a+1))^{-1} ) . Ou seja , para você verificar se a = - 1 implica não solução , terá de verificar na matriz aumentada inicial ou antes desta operação que tivermos a seguinte restrição a \neq  - 1 . A propósito , conseguiu concluir o exercício ? Existe um gabarito para este exercício ? Comente qualquer coisa .
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Re: [Sistema Linear]

Mensagempor hygorvv » Qua Dez 19, 2012 20:47

Eu concluí analisando a matriz aumentada. Infelizmente não possuo gabarito.
Imagino que seja como eu fiz; se a=-1 - analisa b e conclui que ou ele tem infinitas soluções ou não tem solução. (repare que se a=-1 poderemos deixar a L2 e L3 iguais e segue a conclusão).

(Uma solução não seria possível pois temos 3 equações e 4 variáveis, grau de liberdade 1).

Valeu pela ajuda ;D
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Re: [Sistema Linear]

Mensagempor e8group » Qua Dez 19, 2012 20:51

O processo é este mesmo ,mas se surgi alguma dúvida post aí .Até a próxima ...
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Re: [Sistema Linear]

Mensagempor hygorvv » Qua Dez 19, 2012 20:53

Beleza. Obrigado pela força :D
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?