[Pontos críticos - Derivadas] Ajuda com pontos críticos

[jonaskessinger]

Boa tarde...
Tenho a duvida da função abaixo, preciso saber como chegar nos pontos criticos (são 4, conforme mostrei abaixo):

Função:
f(x,y) = xy(1-x-y) = xy - x²y-xy²

derivando em x e y:
==> f[x] = y-2xy - y² = y(1-2x-y) = 0
e
==> f[y] = x-2xy - x² = x(1-x-2y) = 0

Resolvendo o sistema acima, temos os pontos criticos:
(i) (0,0)
{ii) (1,0)
(iii) (0,1)
(iv) (1/3, 1/3)


A questão é...como chegar até esses pontos? Obrigado desde já!

[Russman]

O que você entende por "Resolvendo o sistema acima" ? Ora, você tem duas equações e duas incógnitas. Basta que você as manipule e isole o devido valor de cada uma!

Sistema:



Claramente é solução. Agora, tomando e não nulos podemos dividir a 1° equação por e a 2° por de forma que nos resta um sistema de Primeiro Grau:



Isolando na 1° equação, , e aplicando na 2°, temos

.

Com esse valor de temos para , então: .

Assim, o outro ponto solução é .