Comprimento da curva

por **Crist** » Qui Nov 29, 2012 13:32

calcular o comprimento da curva
$y=\sqrt[3]{x^2}$ +3
do ponto A(1,4) ao ponto B(8,7)

aqui derivei a função e encontrei
$f'(x)= \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$

$L= \int_{1}^{8}\sqrt[2]{1+(\frac{2}{3\sqrt[3]{x}})^2}dx$

fazendo as operações cheguei em:

$\frac{1}{3}\int_{1}^{8}\sqrt[2]{9+{4x}^{\frac{-2}{3}}dx}$

será que está correto? se está não consigo prosseguir, alguém me ajude ? :oops:

por **young_jedi** » Qui Nov 29, 2012 16:24

voce tem que

$\frac{1}{3}\int_{1}^{8}\sqrt{9+\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}}dx$

$=\frac{1}{3}\int_{1}^{8}\sqrt{\frac{9x^{\frac{2}{3}}+4}{x^{\frac{2}{3}}}}dx$

$=\frac{1}{3}\int_{1}^{8}\frac{\sqrt{9x^{\frac{2}{3}}+4}}{x^{\frac{1}{3}}}}dx$

fazendos

$u=9.x^{\frac{2}{3}}+4$

$du=\frac{3}{x^{\frac{1}{3}}}dx$

substituindo na integral

$=\frac{1}{3}\int\frac{\sqrt{u}}{3}du$

a partir dai acho que é mais tranquilo resolver, mais comente qualquer coisa.

por **Crist** » Qui Nov 29, 2012 18:16

young, só uma dívida quando você faz o du não seria ele igual a

$du = \frac{6}{x^\frac{1}{3}}dx?$

por **young_jedi** » Qui Nov 29, 2012 21:07

é verdade voce esta certo

$du=\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}}$

então a integral fica

$\frac{1}{3}\int\frac{\sqrt{u}}{6}du$

muito bem observado!!

por **Crist** » Sex Nov 30, 2012 11:53

Terminei a questão e encontrei L= 7,62, obrigada pela ajuda, espero que meus cálculos estejam certos.

por **Laudiene** » Ter Dez 11, 2012 10:19

Crist escreveu:Terminei a questão e encontrei L= 7,62, obrigada pela ajuda, espero que meus cálculos estejam certos.

Não consigo resolver o resto, tem como me ajudar?Obrigada.

por **young_jedi** » Ter Dez 11, 2012 11:01

partindo da ultima integral

$\frac{1}{3}\int\frac{\sqrt{u}}{6}du$

$\frac{1}{18}\int u^{\frac{1}{2}}du$

$\frac{1}{18}.\frac{2}{3}.u^{\frac{3}{2}}$

substitutindo o u e aplicando os limites de integração

$\frac{1}{27}.(9x^{\frac{2}{3}}+4)^{\frac{3}{2}}|^{8}_1$

$\frac{1}{27}.(9.8^{\frac{2}{3}}+4)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{27}.(9.1^{\frac{2}{3}}+4)^{\frac{3}{2}}$

$\frac{1}{27}.40^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{27}.13^{\frac{3}{2}}$

=7,63