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Máximo e mínimo com duas Variáveis

Máximo e mínimo com duas Variáveis

Mensagempor rhmgh » Sáb Nov 24, 2012 08:19

z=x^4+y^4-2x^2 - 4xy-2y^2

o prof deu esse e alguns outro exercícios para estudar em casa, esse eu estou com dificuldade para fazer porque depois que eu derivo em relação a x e a y faço o sistema e somo as duas equações está dando x = y e ai eu não consigo descobrir a discriminante será que alguém consegue me ajudar?
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Re: Máximo e mínimo com duas Variáveis

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Nov 24, 2012 15:55

Você poderia mostrar suas contas? Não necessariamente está errado, pela sua descrição parece que faltam algumas contas.
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Re: Máximo e mínimo com duas Variáveis

Mensagempor rhmgh » Sáb Nov 24, 2012 23:25

posso sim, vamos lá

dz/dx = 4x^3 - 4x - 4y
dz/dy = 4y^3 - 4x - 4y

somei as 2, deu:

4x^3 - 4y^3 = 0
4x^3 = 4y^3
x^3 = 4y^3/4
x = \sqrt{y^3} (aqui é raiz cubica ta, eu não consegui fazer o simbolo)

e ai vai ficar:

x = y

fazendo as derivadas de segunda ordem:

dz^2/dx^2 = 12x^2 - 4 = A
dz^2/dy^2 = 12y^2 - 4 = C
dz^2/dxdy = -4 =B

Delta = A*C - B^2

(12x^2 -4) * (12y^2 -4) -(-4)^2

eu travei aqui, não sei como continuar
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Re: Máximo e mínimo com duas Variáveis

Mensagempor MarceloFantini » Dom Nov 25, 2012 19:30

Vamos lá. Primeiro, vamos corrigir sua notação: a que usou significa derivada total, enquanto a correta para derivadas parciais é \frac{\partial f}{\partial x}. Então

\begin{cases}
\frac{\partial z}{\partial x} = 4x^3 -4x -4y = 0, \\
\frac{\partial z}{\partial y} = 4y^3 -4x -4y =0.
\end{cases}

Subtraindo você encontrou que x=y. Substituindo na primeira equação vem 4x^3 -4x -4x = 4(x^3 -2)=0, logo x = y = \sqrt[3]{2} e o par (\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}) talvez seja máximo ou mínimo.

Calculando as derivadas de segunda ordem temos

\begin{cases}
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 12x^2 -4, \\
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 12y^2 -4, \\
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -4.
\end{cases}

Logo o Hessiano será H(x,y) = (12x^2 -4) \cdot (12y^2 -4) - (-4)^2. Substituindo o ponto (\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}) temos que H(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}) > 0, portanto um ponto de mínimo local.
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Re: Máximo e mínimo com duas Variáveis

Mensagempor rhmgh » Ter Nov 27, 2012 08:52

MarceloFantini escreveu: 4x^3 -4x -4x = 4(x^3 -2)=0

não entendi aqui! :S
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Re: Máximo e mínimo com duas Variáveis

Mensagempor MarceloFantini » Ter Nov 27, 2012 19:09

Note que 4x^3 -4x -4x = 4x^3 - 8x = 4(x^3 -2) = 0. Eu apenas pulei uma passagem.
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Re: Máximo e mínimo com duas Variáveis

Mensagempor rhmgh » Ter Nov 27, 2012 23:00

MarceloFantini escreveu:Note que 4x^3 -4x -4x = 4x^3 - 8x = 4(x^3 -2) = 0. Eu apenas pulei uma passagem.


ahhhhhh tahh, e também agora que eu percebi que como o x = y você subsituiu ali, não tinha pensado assim ... dããã ... kkk

valeu cara, muito obrigado! :D
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}