Obtenção de séries por meio de manipulações algébricas

por **Aprendiz2012** » Qui Nov 22, 2012 15:15

5) Considerando $\frac{1}{1-x}=1+x+{x}^{2}+...+{x}^{n}+...=\sum_{n=0}^{\infty}{x}^{n}$ use manipulações algébricas e escreva a série de potências que representa a função $\frac{1}{1-x^2}$

"manipulações algébricas" seria eu trocar os valores??

resposta:

$\frac{1}{1-x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}{x}^{2n}$

por **MarceloFantini** » Qui Nov 22, 2012 17:46

Sim, está correto.

por **e8group** » Qui Nov 22, 2012 19:27

Pensei assim,

Se $x\in (-1,0)\cup (0,1)$ é verdade que ,

$\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}$ .Tome por exemplo -3 e 2 . Faça o teste .

Já ,

$\frac{1}{1-x^2}$

caso assumirmos

k = x^2

, temos que $\frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{1-k}$ .

Ora , para quaisquer valores que

assumir, $x \in (-1,0)\cup (0,1)$ vamos ter, $k \in (0,1)$ .

Portanto ,

$\frac{1}{1-k} = \sum_{n=0}^\infty k^n = \sum_{n=0}^\infty (x^2)^n = \sum_{n=0}^\infty x^{2n}$ .

O que acha ?

por **MarceloFantini** » Qui Nov 22, 2012 19:54

A série é convergente para x=0

também. A restrição é apenas que |x|<1

, e no caso que |x^2| <1

também.

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