[Funções] Questão da FUVEST

[SCHOOLGIRL+T]

A função f(x), definida para x no intervalo [– 3,3], tem o seguinte gráfico:

onde as linhas ligando (–1,0) a (0,2) e (0,2) a (1,0) são segmentos de reta. Supondo a <= 0 , para que valores de a o gráfico do polinômio p(x) = a·(x2 – 4) intercepta o gráfico de f(x) em exatamente 4 pontos distintos?

(A) -1/2 < a < 0
(B) -1 < a < -1/2
(C) -3/2 < a < -1
(D) -2 < a < -3/2
(E) a < -2
Me expliquem passo a passo, por favor. Eu já fiz essa mesma pergunta antes mas as respostas não tiraram minha dúvida. Por favor, sejam mais detalhistas>Obg.

[fraol]

Olá, boa noite,

Boa noite,

Estava vendo a resolução do colega Cleyson007 no outro post e como remanesce a sua dúvida, gostaria de discutir alguns pontos com você. Tomei a liberdade de fragmentar a resposta dele aqui pra gente analisar. Fique à vontade para comentar os pontos que você tiver dúvida, vamos lá:

p(x) = a.(x² ? 4) ---> Resolvendo, temos: x' =2 e x'' = -2 ( para qualquer "a")

Nesse passo ele calculou as raízes do

Perceba que "a" deve ser diferente de zero, caso contrário p(x) será um ponto.

O que está sendo dito é que não podemos ter , caso contrário não teremos uma curva para cortar o gráfico dado no problema.

Como pelo enunciado a<0 ,trata-se de uma parábola com concavidade para baixo, cortando eixo "x" nas raizes, sendo portanto dois pontos fixos que cortam o grafico f(x). Agora cabe a nós calcularmos os outros dois pontos.

Aqui você há de se lembrar que quando o coeficiente de é negativo numa função quadrática então sua concavidade é para baixo.

Perceba que o vértice da parábola encontra-se sobre o eixo "y" e que yv deve estar entre 0 e 2 para que os braços da parabola "cortem" os dois segmentos de reta caracterizando os dois pontos faltantes.

Em outras palavras, se o y do vértice dessa parábola for maior do que ou igual a 2, então a parte de cima da parábola não cortará o gráfico da função do problema em outros dois pontos para completar os quatro pedidos ( os primeiros dois são as raízes que já foram calculadas ).

yv = -delta / 4a ==>> (-16a²) / 4a = -4a

Aqui você há de se lembrar que o y do vértice da parábola é dado por .

0 < yv < 2 -->> 0 < - 4a < 2

Aqui está sendo usado o fato de que, para atender ao problema, o y do vértice não pode ser maior do que 2. Também não pode ser menor do que ou igual a zero pela condição de .

0 < - 4a --->> 0 > a (I)
-4a < 2--->> a > -1/2 (II)

Aqui fez-se as contas e concluiu que , o mesmo que

Observando as duas condições obtemos como resposta: -1/2 < a <0

Do resultado anterior e do fato de que conluiu-se que .

.