[Equação]-FGV-SP

por **SCHOOLGIRL+T** » Sáb Nov 17, 2012 18:20

Na equação $1+\frac{1}{1+{x}^{2}}+\frac{1}{{(1+{x}^{2})}^{2}}+.....=2$ , o 1º membro é a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita. A soma das raízes da equação é?
Não sei como se faz. Alguém me ajuda?

por **DanielFerreira** » Sáb Nov 17, 2012 18:27

Primeiro membro: P.G

$\\ \begin{cases} a_1 = 1 \\ q = \frac{1}{1 + x^2} \\ S_n = \end{cases} \\\\\\ S_n = \frac{a_1}{1 - q} \Rightarrow S_n = \frac{1}{1 - \frac{1}{1 + x^2}} \Rightarrow S_n = \frac{1}{\frac{x^2}{1 + x^2}} \Rightarrow \boxed{S_n = \frac{1 + x^2}{x^2}}$

Daí,

$\\ \frac{1 + x^2}{x^2} = 2 \\\\ 2x^2 = 1 + x^2 \\\\ x^2 = 1 \\\\ \boxed{\boxed{x = \pm 1}}$

por **SCHOOLGIRL+T** » Dom Nov 18, 2012 12:18

danjr5 escreveu:Primeiro membro: P.G

$\\ \begin{cases} a_1 = 1 \\ q = \frac{1}{1 + x^2} \\ S_n = \end{cases} \\\\\\ S_n = \frac{a_1}{1 - q} \Rightarrow S_n = \frac{1}{1 - \frac{1}{1 + x^2}} \Rightarrow S_n = \frac{1}{\frac{x^2}{1 + x^2}} \Rightarrow \boxed{S_n = \frac{1 + x^2}{x^2}}$

Daí,

$\\ \frac{1 + x^2}{x^2} = 2 \\\\ 2x^2 = 1 + x^2 \\\\ x^2 = 1 \\\\ \boxed{\boxed{x = \pm 1}}$

Muito obrigada Danjr5. Ótima explicação!

por **DanielFerreira** » Dom Nov 18, 2012 13:09

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