Questão do ITA-SP sobre Polinômios

por **PedroCunha** » Qui Nov 15, 2012 08:36

Olá. Achei esta questão na internet

(ITA – SP) – A equação $(1 - x) (1 - x) \times x = 1 - x^2$ tem:

a. Três raízes reais;
b. Uma raiz dupla igual a 1;
c. Não tem raízes complexas;
d. S = {1; i ; - i};
e. Nda.

e não estou conseguindo fazer ela.

Tentei usar produtos notáveis para reduzir a equação, mas cheguei em uma equação de segundo grau, o que está errado, pois a resposta certa é a letra D

Alguém poderia me mostrar como fazer?

por **DanielFerreira** » Qui Nov 15, 2012 13:54

por **PedroCunha** » Sex Nov 16, 2012 19:04

Olá. Primeiramente, obrigado por responder. Porém, tenho uma dúvida.

Quando você chega em:

( 1 - x ) ( 1 - x )x - ( 1 + x ) ( 1 - x) = 0

( 1 - x ) [x( 1 - x ) - ( 1 + x)] = 0

O que acontece com o segundo

( 1 - x )

do produto

( 1 + x ) ( 1 - x )

Att.,
Pedro

por **DanielFerreira** » Sáb Nov 17, 2012 17:07

Olá Pedro,
boa tarde!
Eu coloquei ele em evidência, isto é, dividi!

(1 - x)(1 - x)x - (1 + x)(1 - x) = 0

(1 - x)[(1 - x)x - (1 + x)] = 0

Consegue visualizar?

Aguardo retorno.

Daniel F.

por **PedroCunha** » Sáb Nov 17, 2012 17:50

Mas nesse caso, devido à presença do (1 + x)

isso não estaria errado?

por **DanielFerreira** » Sáb Nov 17, 2012 18:02

Veja um exemplo:

$\\ a^2x - ab = 0 \\ a(ax - b) = 0$

Note que,
1 - x = a
1 + x = b

por **PedroCunha** » Sáb Nov 17, 2012 18:45

Ahhh..acho que agora entendi.Veja se meu raciocínio está correto. Na equação

(1 - x)(1 - x)x - (1 + x)(1 - x) = 0

são como se fosse um só

e

(1 + x)(1-x)

também são como se fosse um só

Por isso, quando colocamos o (1 - x)

em evidência, chegamos em

(1-x) [ (1-x)x - (1+x)]

Certo?

por **DanielFerreira** » Sáb Nov 17, 2012 18:46

Perfeito!

por **PedroCunha** » Sáb Nov 17, 2012 18:49

Obrigado pela atenção!

Não estava entendendo pois estava olhando os termos como se fossem separados. Logo, não conseguia entender. Mas só por curiosidade, se eu não soubesse isso, teria como resolver o exercício sem colocar nada em evidência?

Att.,
Pedro

por **PedroCunha** » Sáb Nov 17, 2012 18:51

Obrigado pela atenção!

Não estava entendendo pois estava olhando os termos como se fossem separados. Logo, não conseguia entender. Mas só por curiosidade, se eu não soubesse isso, teria como resolver o exercício sem colocar nada em evidência?

Att.,
Pedro

por **DanielFerreira** » Sáb Nov 17, 2012 19:17

Queres outra forma de resolver, certo?!

Segue:

$\\(1 - x)(1 - x)x = 1 - x^2 \\\\ (1 - x - x + x^2)x - 1 + x^2 = 0 \\\\ (1 - 2x + x^2)x - 1 + x^2 = 0 \\\\ x - 2x^2 + x^3 - 1 + x^2 = 0 \\\\ \boxed{x^3 - x^2 + x - 1 = 0}$

Agora, teria que encontrar as raízes dessa equação do 3º grau.

por **PedroCunha** » Sáb Nov 17, 2012 19:38

Para encontrar as raízes dessa equação teria que colocar em evidência também, certo?

x^3 - x^2 + x - 1 = 0

x (x^2 - x + 1) -1 = 0

1ª equação:

x - 1 = 0

x = 1

2ª equação:

x^2 - x + 1 - 1 = 0

O resultado está errado. Eu que fiz errado ou esse é o jeito errado de resolver?

por **DanielFerreira** » Dom Nov 18, 2012 10:22

PedroCunha escreveu:Para encontrar as raízes dessa equação teria que colocar em evidência também, certo?

Acredito que essa seja a forma mais simples.
Dê uma olhada nesse tópico http://www.ajudamatematica.com/viewtopic.php?f=116&t=10230&p=35729#p35729.

Mas, existe outra forma...

por **PedroCunha** » Dom Nov 18, 2012 10:53

Ahh..entendi o jeito de certo de fatorar. Aqui vai conta, veja se está certa por favor.

x^3 - x^2 + x - 1 = 0

x^2(x - 1) + x - 1 = 0

x^2(x - 1) + 1 (x - 1) = 0

(x - 1) (x^2 + 1) = 0