Funções Compostas.

por **Sobreira** » Sex Nov 16, 2012 16:27

Olá amigos,
Tenho uma dúvida, que está me travando no prosseguimento dos meus estudos:
Não sei identificar quando uma função é composta.
Por exemplo:
$y=\sqrt[]{x}.sen x$

Esta função é composta???
Mas não gostaria de respostas restritas à este exemplo, gostaria de mais exemplos e formas de como identificar (para todo caso) uma função composta.

por **MarceloFantini** » Sex Nov 16, 2012 17:08

Isto não é uma composição de funções, isto é um produto. Para enxergar melhor composição de funções, primeiro você precisa ter em mente todas as funções elementares, como:

$\begin{cases} \cos x, \\ \sin x, \\ \tan x, \\ \sec x, \\ \csc x, \\ \cot x, \\ x^n, \\ e^x, \\ \ln x. \end{cases}$

Não são "todas", mas é uma boa lista. Lembre-se que em x^n

temos que

é real, logo isso inclui x^2

, $x^{\frac{1}{2}}$ , $x^{\sqrt{2}}$ , $x^{\frac{-3}{2}}$ , etc.

Segundo, qual é a regra de composição de funções usual? Você coloca uma função "dentro" da outra, da seguinte forma: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ . Vamos tomar o caso $f(x) = \ln x$ e $g(x) = \csc x$ . Então $f(g(x)) = \ln (g(x)) = \ln (\csc x)$ .

Outro exemplo: tome $f(x) = \cos x$ , g(x) = x^3

e $h(x) = \ln x$ . Encontre $(f \circ g \circ h)(x)$ . Pela definição dada, isto é $f(g(h(x))) = \cos (g(h(x))) = \cos ((h(x))^3) = \cos ( (\ln x)^3)$ .

por **Sobreira** » Sex Nov 16, 2012 19:22

Desculpe,
Mas ainda não consegui entender perfeitamente.
Quando eu verificar uma notação do tipo:
$(f \circ g)(x) = f(g(x))$
Eu sei que vou ter uma função composta....Agora quando ela vir por exemplo como:
$y=\sqrt[]{x}.sen x$ tratando de Y e não de f(x) eu ainda não consigo ver.
Pelo pouco que eu entendi...para ser uma função composta é necessário ter uma função elevado a algum expoente???
Desculpa mesmo....mas ainda não consigo diferenciar.
E agora ainda fiquei com a dúvida de como diferenciar uma função produto de uma função composta, além de não ter entendido como detectar de cara uma função composta.

por **MarceloFantini** » Sex Nov 16, 2012 19:42

Você sabe que $\sqrt{x}$ e $\sin x$ são duas funções elementares. Uma parece estar "dentro" da outra? Quando eu digo "dentro", quero dizer que a variável da função é algo diferente de

, mais precisamente é uma outra função de

. Não, não é necessário ter uma função elevado a algum expoente, isto mostra que você não entendeu o que eu disse.

Na primeira composição de funções não há qualquer expoente envolvido, a função foi $f(x) = \ln (\csc x)$ .

A função dada é produto das funções $g(x) = \sqrt{x}$ e $h(x) = \sin x$ , logo $y = f(x) = g(x) h(x) = \sqrt{x} \cdot \sin x$ .

Para perceber que operações estão sendo feitas, você deve identificar todas as funções elementares envolvidas.

Tome isto como exemplo: $y = \cos x^3$ . Quais são as funções elementares envolvidas?

por **Sobreira** » Sex Nov 16, 2012 19:55

Respondendo à sua pergunta, pelo que eu entendi eu vejo que as funções elementares envolvidas são:
$\begin{cases} \cos x \\ x^n, \end{cases}$

"Uma parece estar "dentro" da outra? Quando eu digo "dentro", quero dizer que a variável da função é algo diferente de

, mais precisamente é uma outra função de

."

Gostaria de entender melhor esta parte de sua explicação....
Conseguir enxergar se há "uma função dentro de outra"...Neste exato ponto não consigo entender e acho que se eu conseguir "enxergar" este ponto, aí sim vou sanar minha dúvida satisfatoriamente.

por **MarceloFantini** » Sex Nov 16, 2012 20:15

Você acertou as funções elementares envolvidas. Mais precisamente, n=3

.

Agora, quais são as operações usuais de funções? Soma, subtração, multiplicação, divisão (quando a divisora é diferente de zero) e composição. Se denominarmos $g(x) = \cos x$ e h(x) = x^3

.

Vejamos as expressões de cada uma:

$\begin{cases} g(x) + h(x) = \cos x + x^3, \\ g(x) - h(x) = \cos x - x^3, \\ g(x) \cdot h(x) = (\cos x) \cdot x^3, \\ \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{\cos x}{x^3}. \end{cases}$

Ora, nenhuma destas expressões correspondem à função dada. Por eliminação, só pode ser composição.

O que eu acabei de fazer foi a maneira grosseira de descobrir quando é composição (neste caso simples).

Para enxergar a composição, pense no seguinte: quando escrevemos $g(x) = \cos x$ , sabemos que

é um número (real, usualmente), correto? Então qualquer número dentro do domínio, claro, pode ser colocado lá. Além disso, a variável é 'muda', ou seja, $\cos x$ é o mesmo que $\cos t$ , $\cos k$ , $\cos y$ , $\cos r$ , $\cos \theta$ , e assim em diante (assumindo que estas variáveis não denotem outra coisa).

Portanto, se podemos colocar qualquer número, quero colocar em particular o número igual a h(x)

. Assim como avaliamos funções no domínio, como $g \left( \frac{\pi}{2} \right) = \cos \frac{\pi}{2}$ , posso avaliá-la no ponto h(x)

, escrevendo g(h(x))

, que tem valor $\cos h(x)$ .

Mas nós temos uma expressão para h(x)

, que é justamente x^3

. Substituindo segue que $\cos h(x) = \cos x^3$ . É isto que quero dizer quando uma função está "dentro" da outra. No lugar da variável usual, a variável torna-se uma nova função.

por **Sobreira** » Sáb Nov 17, 2012 00:02

Consegui ver de forma bastante clara a diferença entre as operações com funções (principalmente a diferença para a função composta).
Agora, uma coisa que reparei (para fazer uma associação), por exemplo, é que quando temos uma função composta temos mais de uma função elementar envolvida com a mesma variável "x" ( um único x), enquanto nas demais operações (soma, subtração, divisão e multiplicação) temos duas variavéis "x".
Por exemplo, nestas operações verificamos duas variavéis "x":

$\begin{cases} g(x) + h(x) = \cos x + x^3, \\ g(x) - h(x) = \cos x - x^3, \\ g(x) \cdot h(x) = (\cos x) \cdot x^3, \\ \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{\cos x}{x^3}. \end{cases}$

E esta também:
$y=\sqrt[]{x}.sen x$

Enquanto que quando temos uma função composta temos apenas um "x".
Por exemplo:

$y = \cos x^3$ .
$y=\sqrt[]{2x+1}$ (Aproveitando porque esta função é composta??)

Esta minha observação tem algum fundamento (sentido)? E mais, se tem fundamento....qual a explicação???
Desculpe pela insistência, mas procuro sempre buscar a essência da questão, para entender totalmente o assunto.
Obrigado.

por **MarceloFantini** » Sáb Nov 17, 2012 08:46

Sua observação tem todo sentido. :y:

A função que disse é uma composição das funções g(x) = 2x+1

e $f(x) = \sqrt{x}$ , assim $f(g(x)) = \sqrt{g(x)} = \sqrt{2x+1}$ .

Lembre-se que podemos compor quaisquer funções que estejam dentro do domínio da próxima, portanto não é necessário que a variável apareça uma única vez. Considere o exemplo em que $h(x) = \tan x$ e p(x) = x^3 + x^2 -1

. Então $h(p(x)) = \tan (x^3 +x^2 -1)$ .

Agora, não sei qual é o tipo de explicação que você quer. Isto segue pela definição de composição de funções.

por **Sobreira** » Sáb Nov 17, 2012 15:44

Bom,
Analisando toda essa nossa discussão e estudando algumas literaturas consegui entender o seguinte, e gostaria que me pudesse me corrigir caso eu esteja errado:
Para pensar numa função composta posso por exemplo, substituir "x"por qualquer número real e verificar se eu obtenho a imagem da função de forma direta, por exemplo:
y=senx

$y={x}^{2}$
$y={x}^{2}+1$

Nestes casos quando eu substituo o "x"por qualquer número real tenho um cálculo direto (para "x"=3)
y=sen3
y=0.05

$y={3}^{2}$
y=9

$y={x}^{2}+1$
$y={3}^{2}+1$
y=10

Enquanto que quando eu tenho uma função composta, o cálculo da imagem da função não acontece de maneira direta, por exemplo:
$y = \cos x^3$
$y=\sqrt[]{2x+1}$

No primeiro caso eu tenho que elevar "x" ao cubo primeiro e depois calcular o cos deste resultado.
No segundo caso eu tenho que descobrir o valor da expressão 2x+1 primeiro e depois calcular a raíz quadrada deste resultado.

Está certo este meu raciocínio?