[Logaritmos]

por **thamysoares** » Sex Nov 16, 2012 11:27

Resolva o sistema de equações nas incógnitas x e y.
{3logx+logy=1

${-2logx+\frac{1}{3}logy=0$
Me ajudem? Não sei nem logaritmo direito quanto mais logaritmo em um sistema. Por favor.

por **e8group** » Sex Nov 16, 2012 11:55

isole ,

ou

, depois substitua na segunda equação . Resolva para a variável que restar e depois volte na primeira equação e resolva p/ a outra incógnita .

EX:

Somando $- 3 \cdot log(x)$ , na primeira equação : $3 \cdot log(x) + log(y) + ( - 3 \cdot log(x)) = 1 - 3 \cdot log(x) \implies log(y) = 1 - 3 \cdot log(x)$

Agora substitua na segunda equação .

Consegue terminar ?

por **thamysoares** » Sex Nov 16, 2012 13:49

santhiago escreveu:isole , ou , depois substitua na segunda equação . Resolva para a variável que restar e depois volte na primeira equação e resolva p/ a outra incógnita .

EX:

Somando $- 3 \cdot log(x)$ , na primeira equação : $3 \cdot log(x) + log(y) + ( - 3 \cdot log(x)) = 1 - 3 \cdot log(x) \implies log(y) = 1 - 3 \cdot log(x)$

Agora substitua na segunda equação .

Consegue terminar ?

$-2logx+\frac{1}{3}(1-3logx)=0$
$-2logx+\frac{1}{3}-logx=0$
$\frac{log{x}^{-2}}{x}=\frac{-1}{3}$
E então?
Eu não sei como se faz =[

por **e8group** » Sex Nov 16, 2012 16:31

$\begin{cases} 3 log(x) + log(y) = 1 \\ - 2log(x)+ \frac{log(y)}{3} = 0\end{cases}$ .

No tópico , acima , vimos que log(y) = 1 - 3 log(x)

. Susbstituindo na segunda equação ,

$- 2log(x) + \frac{1}{3} ( 1 - 3 log(x) ) = 0$ .

Multiplicando toda equação por

,

- 6 log(x) + 1 - 3log(x) = 0 = 1 - 9 log(x) = log(10) - 9 log(x) = log(10/x^9) = 0

Sabemos que log(a) = 0

quando

Com isso , $log(10/x^9) = 0 \iff 10/x^9 = 1 \iff 10 = x^9 \iff x = 10^{1/9} = \sqrt[9]{10}$ .

Para resolver para

, isole

da relação 1 - 9 log(x) = 0

, susbstitua em 1 - 3 log(x) = log(y)

. Faça a mesma análise e resolva p/ y .

Por favor revise seus cálculos .

por **thamysoares** » Sex Nov 16, 2012 18:17

santhiago escreveu: $\begin{cases} 3 log(x) + log(y) = 1 \\ - 2log(x)+ \frac{log(y)}{3} = 0\end{cases}$ .

No tópico , acima , vimos que . Susbstituindo na segunda equação ,

$- 2log(x) + \frac{1}{3} ( 1 - 3 log(x) ) = 0$ .

Multiplicando toda equação por ,

Sabemos que quando

Com isso , $log(10/x^9) = 0 \iff 10/x^9 = 1 \iff 10 = x^9 \iff x = 10^{1/9} = \sqrt[9]{10}$ .

Para resolver para , isole da relação , susbstitua em . Faça a mesma análise e resolva p/ y .

Por favor revise seus cálculos .

Bom, eu tentei fazer como você disse. Veja se está correto, por favor:
3log(x)+log(y)=1

Então eu multipliquei por -2 pra substituir na outra equação, que eu multipliquei por -3(nem sei se pode fazer isso). Assim:
-6log(x)=1-log(y)

$\Rightarrow-2log(x)+\frac{1}{3}log(y)=0$
-6log(x)-log(y)=0

$\left((1-log(y) \right)-log(y)=0$
1-2log(y)

$log\left(\frac{10}{{y}^{2}} \right)=0$
$\frac{10}{{y}^{2}}=1$
$10={y}^{2}$
$y=\sqrt[]{10}$
E então?

por **e8group** » Sex Nov 16, 2012 19:31

Cuidado ! você cometeu um erro grave que estar alterando o resultado .

Veja o certo ,

Multiplicando ambos lados da igualdade por - 2 .

Vamos obter , - 2( 3log(x) ) = - 2 ( 1 - log(y) ) = - 6 log(x) = - 2 + 2 log(y )

- 2( 3log(x) ) = - 2 ( 1 - log(y) ) = - 6 log(x) = - 2 + 2 log(y )

Perceba que , basta multiplicar pelo seu inverso , que vamos desfazer a operação anterior , isto é , multiplique toda toda equação por $1/(-2) = (-2)^{-1}$ que voltará para a equação original .

Observe o seu desenvolvimento e faça uma comparação .

Mas , como já temos log(y)

em função de log(x)

, lembrando log(y) = 1 - 3 log(x)

( Observe minha 1ª resposta ao tópico ) e ressaltando também já temos log(x) = 1/9

( Observe minha 2ª resposta ao tópico ) .

Sendo assim ,

$log(y) = 1 - 3log(x) = 1 - 3 \cdot (\frac{1}{9} ) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} (1 - \frac{1}{3} ) = \frac{1}{3} (3 - 1 ) = \frac{2}{3}$ .

Daí ,

$10^{log(y) } = 10^{2/3}$

e

Portanto ,

$y = 10^{2/3} = (10^2 )^{1/3} = \sqrt[3]{10^2} = \sqrt[3]{100}$

$S = \left\{ (\sqrt[9]{10} , \sqrt[3]{100} ) \right \}$

Qualquer coisa comente .

por **thamysoares** » Sex Nov 16, 2012 19:56

santhiago escreveu:Cuidado ! você cometeu um erro grave que estar alterando o resultado .

Veja o certo ,

Multiplicando ambos lados da igualdade por - 2 .

Vamos obter ,

Perceba que , basta multiplicar pelo seu inverso , que vamos desfazer a operação anterior , isto é , multiplique toda toda equação por $1/(-2) = (-2)^{-1}$ que voltará para a equação original .

Observe o seu desenvolvimento e faça uma comparação .

Mas , como já temos em função de , lembrando ( Observe minha 1ª resposta ao tópico ) e ressaltando também já temos ( Observe minha 2ª resposta ao tópico ) .

Sendo assim ,

$log(y) = 1 - 3log(x) = 1 - 3 \cdot (\frac{1}{9} ) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} (1 - \frac{1}{3} ) = \frac{1}{3} (3 - 1 ) = \frac{2}{3}$ .

Daí ,

$10^{log(y) } = 10^{2/3}$

e

Portanto ,

$y = 10^{2/3} = (10^2 )^{1/3} = \sqrt[3]{10^2} = \sqrt[3]{100}$

$S = \left\{ (\sqrt[9]{10} , \sqrt[3]{100} ) \right \}$

Qualquer coisa comente .

Muitíssimo obrigada =D

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