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[Integrais] Resolução incorreta?

[Integrais] Resolução incorreta?

Mensagempor MrJuniorFerr » Dom Nov 11, 2012 23:04

Resolvi o seguinte exercício mas não cheguei no resultado correto.

\int sen^2xcos^2xdx = \int \frac{1}{2}(1-cos2x)\frac{1}{2}(1+cos2x)dx

\int \frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x.\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2xdx

\frac{1}{2}\int dx - \frac{1}{4}\int cos2xdx+\frac{1}{2}\int cos2xdx

u=2x
du=2dx

\frac{1}{2}x-\frac{1}{8} \int cosudu+\frac{1}{4}\int cosudu

\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}sen2x+\frac{1}{4}sen2x+C

O resultado correto é:

\frac{1}{8}x-\frac{1}{32}sen4x+C

O que eu fiz de errado?
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Re: [Integrais] Resolução incorreta?

Mensagempor MarceloFantini » Seg Nov 12, 2012 05:37

Note que

\sin^2 x \cos^2 x = (\sin x \cos x)^2 = \left( \frac{\sin (2x)}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \sin^2 (2x)

= \frac{1}{4} (1 - \cos^2 (2x)) = \frac{1}{4} \left( 1 - \left( \frac{1 + \cos (4x)}{2} \right) \right) = \frac{1}{8} - \frac{\cos(4x)}{8}.

Integrar agora é fácil. Você errou em algumas das transformações que fez, e na distributiva também.
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Re: [Integrais] Resolução incorreta?

Mensagempor MrJuniorFerr » Seg Nov 12, 2012 12:29

Marcelo, pode por favor demonstrar meu erro na distributiva? Não sei onde errei...
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Re: [Integrais] Resolução incorreta?

Mensagempor MarceloFantini » Seg Nov 12, 2012 19:21

Refiro-me a esta distributiva: (1 - \cos (2x))(1 + \cos (2x)). Isto é um produto notável: (a-b)(a+b) = a^2 -b^2. Se não percebesse, a conta é

(1 - \cos (2x))(1 + \cos (2x)) = 1 + \cos (2x) - \cos (2x) - \cos^2 (2x) = 1 - \cos^2 (2x).
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Re: [Integrais] Resolução incorreta?

Mensagempor MrJuniorFerr » Seg Nov 12, 2012 20:34

Obrigado Marcelo.
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.