Equação diferencial - 1

por **Cleyson007** » Qua Nov 07, 2012 21:09

Calcule $\int_{}^{}f(x)\,dx = F(x) + c$ . Em seguida calcule c para que a solução y satisfaça a condição extra apresentada, para

$f(x)={cos}^{2}x,\,\,\,\,\,y(\pi)=\frac{\pi}{2}$

Por favor, explique-me de uma maneira simples de se entender. Tenho prova de equações diferenciais esse período, e estou perdido na matéria.

por **young_jedi** » Qui Nov 08, 2012 12:40

substituindo f(x)

$y=\int cos^2x.dx$

utilizando a relação trigonometrica

$cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}$

$y=\int \left(\frac{1+cos(2x)}{2}\right).dx$

integrando

$y=\frac{x}{2}+\frac{sen(2x)}{4}+c$

como $y(\pi)=\pi/2$

$y(\pi)=\frac{\pi}{2}+\frac{sen(2\pi)}{4}+c=\frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{2}+c=\frac{\pi}{2}$

portanto c=0
então a resolução da equação fica

$y=\frac{x}{2}+\frac{sen(2x)}{4}$

por **Cleyson007** » Qui Nov 08, 2012 15:46

Young_jedi, pode desenvolver essa parte para mim cos² x = 1 + cos 2x / 2 ?

Agradeço,

Cleyson007

por **young_jedi** » Qui Nov 08, 2012 15:57

Opa tranquilo Cleyson007

cos(x+x)=cos(x).cos(x)-sen(x).sen(x)

mais nos sabemos que

1=cos^2x+sen^2x

somando as duas equações

$\begin{array}{ccc}cos(2x)&=&cos^2(x)-sen^2(x)\\1&=&cos^2x+sen^2x\end{array}$

cos(2x)+1=2cos^2x

$cos^2x=\frac{1+cos(2x)}{2}$

por **Cleyson007** » Qui Nov 08, 2012 16:16

O processo algébrico não é difícil..

Sabe o que acontece? Estou me perdendo é na "manipulação" da artimanha. Nem me passou pela cabeça que teria de começar por aqui cos(x + x).

Dúvida aqui: $y=\int_{}^{}\left(\frac{1+cos(2x)}{2} \right)\,dx$

Poderia ser assim? $y=\frac{1}{2}\int_{}^{}1+cos(2x)\,dx$

Outra dúvida: Como surgiu o $\frac{sen(2x)}{4}$ ?

Agradeço,

Cleyson007

por **young_jedi** » Qui Nov 08, 2012 16:19

Sim, pode ser assim
colocar as constantes para fora da integral facilita bastante

o sen(2x)/4 surgiu do processo de integração

por **Cleyson007** » Qui Nov 08, 2012 16:36

young_jedi escreveu:o sen(2x)/4 surgiu do processo de integração

Pode me explicar também o procedimento para se chegar em sen (2x) / 4 ?

Agradeço,

Cleyson007

por **young_jedi** » Qui Nov 08, 2012 16:50

primeiro eu separei em duas integrais

$\frac{1}{2}\int 1+cos(2x)dx=\frac{1}{2}\left(\int 1.dx+\int cos(2x)dx\right)$

eu fiz integração por substituição

a primeira integral é igual a x

para a segunda eu fiz esta substituição

u=2x

$\int cos(2x)dx=\int \frac{cos(u)du}{2}$

$\int \frac{cos(u)du}{2}=\frac{1}{2}\int cos(u)du$

a intgral de cos(u) é sen(u) (como agente bem sabe de derivda)

$\frac{1}{2}\int cos(u)du=\frac{1}{2}sen(u)$

substituindo de volta o x

$\frac{1}{2}sen(u)=\frac{1}{2}sen(2x)$

agora voltando a integral principal

$\frac{1}{2}\int 1+cos(2x)dx=\frac{1}{2}\left(x+\frac{sen(2x)}{2}\right)+c$

$\frac{1}{2}\left(x+\frac{sen(2x)}{2}\right)+c=\frac{x}{2}+\frac{sen(2x)}{4}+c$

por **MarceloFantini** » Qui Nov 08, 2012 17:05

Pela regra da cadeia, lembre-se que $(\sin x)' = \cos x$ . Agora pela regra da cadeia $(\sin (2x))' = 2 \cos (2x)$ . Como no caso temos $\frac{\cos (2x)}{2} = \frac{(\sin (2x))'}{4}$ , então $\int \frac{\cos (2x)}{2} \, dx = \frac{\sin (2x)}{4} + C$ .