Angulo entre retas {vetores}

por **Danilo** » Ter Nov 06, 2012 16:07

Obtenha os vértices B e C do triângulo equilátero ABC, sendo A = (1,1,0) e sabendo que o lado BC está contido na reta: (x,y,z) = t(0,1,-1).

Bom, pensei assim: eu já sei o vetor diretor de r, que é (1,1,0). Sei que cada ângulo interno vale 60 graus. Chamei o ponto B de (x,y,z). Como A = (1,1,0) então um vetor diretor da reta uqe passa por AB pode ser (x-1, y-1,z). Logo é só calcular o ângulo entre os vetores diretores usando a definição do produto interno. Mas o problema é que vai dar uma conta astronômica e eu não sei como eliminar as duas variáveis... eu não consigo encontrar uma outra relação tal que eu elimine x e y.

por **young_jedi** » Ter Nov 06, 2012 18:54

Danilo

Voce sabe que o B faz parte da reta portanto voce pode dizer que ele é

B=t(0,1,-1)=(0,t,-t)

então o vetor diretor seria

$\overrightarrow{AB}=(0-1,t-1,-t-0)=(-1,t-1,-t)$

como voce ja bem observou é só utilizar a definição de porduto escalar com o vetor diretor da reta,
vai dar uma conta um pouco grande, mais só com uma variavel, que pode ser isolada e encontrada seu valor,
É possivel que voce vai chegar a dois valores de t, substituindo na equação da reta voce encontra os pontos B e C

por **Danilo** » Qui Nov 08, 2012 02:09

young_jedi escreveu:Danilo

Voce sabe que o B faz parte da reta portanto voce pode dizer que ele é

então o vetor diretor seria

$\overrightarrow{AB}=(0-1,t-1,-t-0)=(-1,t-1,-t)$

como voce ja bem observou é só utilizar a definição de porduto escalar com o vetor diretor da reta,
vai dar uma conta um pouco grande, mais só com uma variavel, que pode ser isolada e encontrada seu valor,
É possivel que voce vai chegar a dois valores de t, substituindo na equação da reta voce encontra os pontos B e C

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Bom, eu fiz o produto interno entre o vetor AB = (-1,t-1,-t) e entre um dos vetores diretores da reta que passa por BC = (0,1,-1) e encontrei t=1 mas ao substituir eu não encontro os pontos procurados que são (0,0,0) e o outro (0,0,1)... o que estou errando?

por **young_jedi** » Qui Nov 08, 2012 10:20

bom vamos la então

como o angulo entre ele deve ser 60º então nos temos que

$|\overtrightarrow{AB}.\overrightarrow{v}|=|\overtrightarrow{AB}||\overrightarrow{v}|cos(60^o)$

o vetor diretor é $\overrrightarrow{v}=(0,1,-1)$

$(-1,t-1,-t)(0,1,-1)=\sqrt{(-1)^2+(t-1)^2+(-t)^2}.\sqrt{0+1^2+(-1)^2}.\frac{1}{2}$

$2t-1=\sqrt{2t^2-2t+2}.\sqrt2.\frac{1}{2}$

colocando o dois dentro da raiz em evidencia e tirando pra fora, da para simplicar com a outra raiz de dois e a divisão.

$2t-1=\sqrt{t^2-t+1}$

elevando os dois lados da equação ao quadrado

4t^2-4t+1=t^2-t+1