[Integral] Uma ajuda aí pessoal...

por **e8group** » Ter Nov 06, 2012 22:40

Note que ,

$\int \sqrt{cos(x) +1} dx = \int \frac{sin(x)}{\sqrt{1-cos(x)}} dx$

Fazendo $cos(x) + 1 = u \implies du = -sin(x)dx$ .Assim, segue que :

$\int \frac{sin(x)}{\sqrt{1 - cos(x)}}dx = \int \frac{du}{\sqrt{2-u}} du$

Fazendo uma nova substituição ,

$2 - u = t \implies dt = -du$

Teremos ,

$\int t^{-1/2} dt = \frac{\sqrt{t}}{1/2} + c$

Voltando para u e depois para x

$\frac{\sqrt{t}}{1/2} + c = 2 \sqrt{cos(x)+1} + c$

Daí ,

$\int_{0}^{2\pi} \sqrt{cos(x)+1} = 4\sqrt{2}$

Pergunte aí qualquer coisa .

por **Lucas Monteiro** » Ter Nov 06, 2012 23:30

$\int_{}^{}\sqrt[]{cos(x) +1}dx=\int_{}^{}\frac{sin(x)}{\sqrt[]{1-cos(x)}}dx$

Como você fez essa passagem?

por **e8group** » Qua Nov 07, 2012 00:02

Sim , claro .

$\sqrt{cos(x)+1}= \frac{\sqrt{1 +cos(x)}}{\sqrt{1-cos(x)}} \cdot \sqrt{1-cos(x)} = \frac{\sqrt{1-cos^2(x)}}{\sqrt{1-cos(x)}}$ .

Mas !

cos^2(x) + sin^2(x) = 1

.

Daí ,

$\sqrt{cos(x)+1}= \frac{sin(x)}{ \sqrt{ 1 - cos(x) } }$

OBS.: Desculpe , cometi alguns erros , não adquiri um bom conhecimento sobre integrais ainda . Vou deixar para os demais usuários do ajuda matemática te ajudar . Entretanto vou analisar o mesmo novamente .

por **MarceloFantini** » Qua Nov 07, 2012 02:01

É quase isso. Multiplicando por $\sqrt{1- \cos x}$ no numerador e denominador, você terá $\sqrt{1- \cos^2 x}$ sobre $\sqrt{1- \cos x}$ . Ora, mas pela relação fundamental temos $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ , daí $\sqrt{1-\cos^2 x} = \sqrt{\sin^2 x} = | \sin x|$ . Ou seja, agora você precisa quebrar a integral nos intervalos $[0, \pi]$ e $[\pi, 2 \pi]$ .

por **e8group** » Qua Nov 07, 2012 21:23

Obrigado , Marcelo Fantini . Agora eu consegui .

Vamos fazer primeiro uma observação :

$sin(x) \geq 0 ; x \in [ 0 , \pi ]$

$sin(x) < 0 ; x \in (\pi , 2\pi )$ .

Daí , $| sin(x) | = - sin(x) , x \in (\pi , 2\pi )$ e $| sin(x) | = sin(x) , x \in [ 0 , \pi ]$ .

Fazendo os procedimentos anteriores do tópico acima , virmos que :

$\int_{0}^{2\pi} \sqrt{cos(x)+1} dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{|sin(x)|}{\sqrt{1-cos(x)}} dx$ .

De acordo que o Marcelo disse , segue que ;

i)

$\int_{0}^{\pi} \frac{sin(x)}{\sqrt{1-cos(x)}} dx$

ii)

$- \int_{\pi}^{2\pi} \frac{sin(x)}{\sqrt{1-cos(x)}} dx$

Fazendo , t = 1 - cos(x)

.Donde ,

. Teremos por um lado ,

$\int_{0}^{\pi} \frac{sin(x)}{\sqrt{1-cos(x)}} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{dt}{\sqrt{t} } = 2\sqrt{1 -cos(\pi) } - 2\sqrt{1 -cos(0) } = 2\sqrt{2}$ . Entretanto , por outro lado ,

$- \int_{\pi}^{2\pi} \frac{sin(x)}{\sqrt{1-cos(x)}} dx = - \int_{\pi}^{2\pi} \frac{dt}{\sqrt{t}} = -2 \sqrt{1 - cos(2\pi) } - ( -2 \sqrt{1 - cos(\pi) } ) = \sqrt{2}$

logo ,

$2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$ .

Se estiver certo , espero que ajude aí .

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