[ Derivada ] Me ajudeem!

por **mih123** » Ter Nov 06, 2012 00:52

Olá, boa noite! Gostaria que me ajudassem nessa questão.

Determine, se a função $\frac{6x+5}{{x}^{2}+x-6}$ verifica a fórmula

$\frac{{(-1)}^{n}n!}{5}\left[ \frac{17}{{(x-2)}^{n+1}}+\frac{13}{{(x+3)}^{n+1}}\right]$

para a sua derivada de ordem n E N.

por **Russman** » Ter Nov 06, 2012 01:25

Derive 1,2,3,...,n vezes e observe o padrão...

por **e8group** » Ter Nov 06, 2012 19:37

Olá , eu tenho uma idéia q possa ajudar vc .

Primeiro , fatorando o denominador e escrevendo-o como , (x-2)(x+3)

. Podemos dizer que ,

$\frac{6x +5}{x^2 +x -6}=\frac{6x +5 }{(x-2)(x+3)}$ .

Em seguida vou decompor as frações por soma parcial . Antes de tudo se você não conhece este metodo , recomendo a leitura do mesmo neste link abaixo :

http://www.math.wisc.edu/~park/Fall2011 ... action.pdf

Vou afirma que ,

$\frac{6x +5 }{(x-2)(x+3)} = \frac{\lambda}{x-2} + \frac{\theta}{x+3}$ .

Para mantermos a veracidade , cabe acharmos condições sobre $\lambda$ e $\theta$ que satisfaz a relação acima .

Com isso , segue os passos :

1) Multiplicando ambos lados por

, vamos obter que :

$6x + 5 = (x+3)\lambda + (x-2)\theta$

2) Aplicando a distributiva e colocando o termo x em evidência , segue que :

$6x + 5 = (\lambda + \theta)x + 3\lambda - 2\theta$ .

3) Para a igualdade ser verdadeira , os coeficientes são iguais , então :

$\begin{cases} 6 = \lambda + \theta \\ 5= 3\lambda - 2\theta \end{cases}$

4) Resolvendo este sistema , teremos que :

$\theta = \frac{ 13}{5}$ e $\lambda = \frac{ 17}{5}$ .

Portanto ,

$\frac{6x +5 }{(x-2)(x+3)} = \frac{17}{5(x-2)} + \frac{13}{5(x+3)} = \frac{1}{5}\left(\frac{17}{x-2} + \frac{13}{x+3} \right ) = \frac{1}{5}\left(17(x-2)^{-1}+ 13(x+3)^{-1}\right )$

Agora basta você , derivar para $n = 1 , \hdots , n$ , agora basta desenvolver as derivadas e verificar se condiz com a generalidade proposta e (se vc quiser), mostre que vale para n+1