Integração

por **Cleyson007** » Seg Out 29, 2012 19:33

Faça uso de integração para resolver o exercício!

Sueli está dirigindo um carro em um trecho retilíneo de uma estrada. No tempo t = 0, quando está se movendo a 10m/s no sentido positivo do eixo Ox, ela passa por um poste de sinalização a uma distância x = 50m. Sua aceleração em função do tempo é dada por: ax = 2,0m/s² - (0,10m/s³)t.

a) Deduza uma expressão para a posição e a velocidade em função do tempo.

b) Qual é o instante em que sua velocidade atinge o valor máximo?

c) Qual é a velocidade máxima?

d) Onde está o carro quando a velocidade atinge seu valor máximo?

por **Russman** » Seg Out 29, 2012 20:37

Se

é a função que descreve o movimento da partícula então sua velocidade , também em função do tempo , que é a taxa com que esta varia de posição, v(t)

e dada por $v(t) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}x(t)$ . Ainda, a sua aceleração, que é a taxa com que a velocidade varia no tempo, é dada por $a(t)= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}v(t) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left ( \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}x(t) \right )=\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} t^2}x(t)$ .

Assim, observe que:

$a(t)= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}v(t) \Rightarrow \int a(t)dt=\int \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}v(t)dt\Rightarrow v(t)=\int a(t)dt$

$v(t)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}x(t)\Rightarrow \int v(t)dt=\int \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}x(t)dt\Rightarrow x(t)=\int v(t)dt$

Portanto, para calcular as funções de posição e velocidade basta integrar a função aceleração.

Sabemos que uma função real de uma variável atinge o seu ponto extremo ( máximo ou mínimo) quando sua derivada com relação a esta variável é nula. Portanto calcule a função velocidade, derive e iguale a zero. Veja que isto é equivalente a calcular o instante em que a aceleração se anula.

por **Cleyson007** » Seg Out 29, 2012 21:14

Boa noite Russman,

Primeiramente, muito obrigado pela EXCELENTE explicação!!

Por favor veja se estou correto:

a) $\int_{}^{}a(t)dt=v(x)\Rightarrow\,v(x)=\int_{}^{}2-0,1t\,dt$

$v(x)=2t-\frac{0,1t^2}{2}\,dt\Rightarrow\,v(x)=2t-0,05t^2+c$

$x(t)=\int_{}^{}v(t)\,dt\Rightarrow\,x(t)=\int_{}^{}2t-0,05t^2\,dt$

$x(t)=t^2-0,05\frac{{t}^{3}}{3}+c$

b) v(x)=2t-0,05t^2+c=0

--> Essa constante "c" não vai atrapalhar quando aplicar Bháskara?

No aguardo,

Cleyson007

por **Russman** » Seg Out 29, 2012 21:25

Ok, você encontrou

v(t) = 2t-0,05t^2 + c

.

Observe que tomando t=0

temos $v(t=0) = 2.0-0,05.0^2 + c \Rightarrow c = v(0)$ . O exercício diz que nesses instante o móvel estava se movendo a 10 m/s. Assim, v(t) = 10 + 2t-0,05t^2

.

Agora para calcular x(t)

integre

:

$x(t) = \int \left (10 +2t - 0,05t^2 \right ) dt = 10t + t^2 -0,017t^3+c$

Faça o mesmo procedimento que fiz para calcular a constante

.

Na letra b) você precisa calcular para qual tempo

que a velocidade atinge seu valor máximo. Como eu disse, uma função real de uma variável atinge o seu ponto extremo ( máximo ou mínimo) quando sua derivada com relação a esta variável é nula.

Portanto, fazendo $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}v(t)=0$ temos a(t) = 0

. Como

, então $2-0,1t=0\Rightarrow t=20$ .
No instante t=20

segundos o móvel atinge sua máxima velocidade. Esta você calcula fazendo t=20

em

.

por **Cleyson007** » Seg Out 29, 2012 21:48

Russman, quando temos t = 0 temos x (t = 0) = 10t + t² - 0,017t³ + c --> c = 50

10t + t² - 0,017t³ + 50 = x(t)

Como você disse, a velocidade máxima é atingida em t = 20s.

v(t) = 2(20) - 0,05 (20)² + 10 --> v(t) = 10 + 40 - 20 --> v(t) = 30m/s

É isso?

por **Russman** » Seg Out 29, 2012 21:52

Isto mesmo! (:

por **Cleyson007** » Ter Out 30, 2012 10:31

Ok Russman!

Como resolvo a letra "d"?

Sai por aqui $s={s}_{0}+{v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$ , ou por aqui ${v}^{2}={v}_{0}^{2}+2a\Delta\,S$ ?

No aguardo,

Cleyson007

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