[Derivada de Função Exponencial] Problema de Economia

por **Ronaldobb** » Seg Out 29, 2012 09:38

A demanda por uma nova linha de computadores,

meses após seu lançamento no mercado, é estimada por:

$D(t)=2000-1500{e}^{-0.05t}$

(t>0)

a) A que nível se espera que a demanda se estabilize?
b) Encontre a taxa da demanda após o décimo mês.

por **e8group** » Seg Out 29, 2012 11:54

Bom dia , na letra A , não utilizei derivadas , apenas utilizei limites .

Solução :

Vamos reescrever sua função como ,

$D(t) = 2000 - \frac{1500}{e^{0.05t}}$ .

Calculando o limite quando $t \to +\infty$ ,

$\lim_{t\to +\infty} D(t) = 2000$ .

Perceba que ,

$\frac{1500}{e^{0.05t}}$ é sempre positiva , o que significa que a demanda se estabilize quando D(t)

estar em uma "vizinhaça " do 2000 , à esquerda . Sendo assim , a melhor aproximação do 2000 será quando ,

$e^{0.05t} > 1500$ pois $\frac{1500}{e^{0.05t}} \in (0 ,1 ) \iff e^{0.05t} > 1500$ .

Ou seja , quando $e^{0.05t} > 1500 \implies ln( e^{0.05t}) > ln(1500) \implies t > \frac{ln(1500)}{0.005} \approx146 ,3$

Isso que dizer que , a demanda vai estabilizar quando t > 146

.

Calculando o limite quando t tende a 146 , veja :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... s+t+to+146

A media q t vai aumentando , a função fica mais próximo do 2000 , D < 2000