{Equação do plano}

por **Danilo** » Sex Out 26, 2012 01:15

Dadas as retas

r: $\frac{x-2}{2} = \frac{y}{2} = z$ e s: x-2 = y = z, obtenha uma equação geral para o plano determinado por r e s.

Bom, sei como encontrar a equação do plano obtendo a normal e um de seus pontos mas eu não vejo como fazer isso tendo duas retas. E não vejo como duas retas determinam um plano... Grato desde já!

por **MarceloFantini** » Sex Out 26, 2012 02:37

Seja $\lambda$ o parâmetro da primeira reta e $\mu$ da segunda.

Então

$\frac{x-2}{2} = \frac{y}{2} = z = \lambda$

e

$x-2 = y = z = \mu$ .

Daí,

$r: \begin{cases} x = 2 + 2 \lambda, \\ y = 2 \lambda, \\ z = \lambda, \end{cases}$

e

$s: \begin{cases} x = 2 \mu, \\ y = \mu, \\ z = \mu. \end{cases}$

Na notação usual, a reta

será dada por $r: (2,0,0) + \lambda (2, 2, 1)$ e a reta

por $s: (0,0,0) + \mu (2, 1, 1)$ .

Para obter a equação geral, faça como no outro tópico: calcule o produto vetorial dos vetores diretores, ou seja, calcule $(2,2,1) \times (2,1,1)$ e substitua (2,0,0)

para encontrar o coeficiente que falta.

por **Danilo** » Sex Out 26, 2012 10:31

MarceloFantini escreveu:Seja $\lambda$ o parâmetro da primeira reta e $\mu$ da segunda.

Então

$\frac{x-2}{2} = \frac{y}{2} = z = \lambda$

e

$x-2 = y = z = \mu$ .

Daí,

$r: \begin{cases} x = 2 + 2 \lambda, \\ y = 2 \lambda, \\ z = \lambda, \end{cases}$

e

$s: \begin{cases} x = 2 \mu, \\ y = \mu, \\ z = \mu. \end{cases}$

Na notação usual, a reta será dada por $r: (2,0,0) + \lambda (2, 2, 1)$ e a reta por $s: (0,0,0) + \mu (2, 1, 1)$ .

Para obter a equação geral, faça como no outro tópico: calcule o produto vetorial dos vetores diretores, ou seja, calcule $(2,2,1) \times (2,1,1)$ e substitua para encontrar o coeficiente que falta.

Mais uma vez, obrigado Marcelo! Entendi!

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