Equação do plano

por **Danilo** » Qui Out 25, 2012 22:38

Encontrar a equação do plano que passa pelos pontos P = (1,0,0) e Q = (1,0,1) e é perpendicular ao plano y = z.

Bom, eu sei que para encontrar a equação do plano basta encontrar a sua normal (já que eu já tenho pontos dados pertencentes a ele). E eu sei que a normal do plano y=z (plano esse que eu não consigo enxergar) é perpendicular ao plano que quero encontrar. Mas eu não sei como terminar.... !

por **young_jedi** » Qui Out 25, 2012 23:04

reescrevendo a equação do plano

y=z

dai voce tira o vetor normal ao plano

$\overrightarrow{n}=(0,1,-1)$

como os palnos são perpendiculares este vetor é perpendicular ao vetor normal do plano que voce quer encontrar,mais
o vetor $\overrightarrow{PQ}$ tambem, portanto o produto vetorial dos dois fornece um vetor normal ao plano que voce quer determinar

$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{n}\times\overrightarrow{PQ}$

por **MarceloFantini** » Qui Out 25, 2012 23:17

Se

, então todo ponto do plano será da forma (x,y,z) = (x,y,y) = x(1,0,0) + y(0,1,1)

. Você pode encontrar a normal fazendo o produto vetorial dos vetores diretores.

Vemos que o ponto (1,0,0)

já pertence, basta substituir (1,0,1)

na equação geral e encontrar o coeficiente que falta.

por **Danilo** » Sex Out 26, 2012 01:06

young_jedi escreveu:reescrevendo a equação do plano

dai voce tira o vetor normal ao plano

$\overrightarrow{n}=(0,1,-1)$

como os palnos são perpendiculares este vetor é perpendicular ao vetor normal do plano que voce quer encontrar,mais
o vetor $\overrightarrow{PQ}$ tambem, portanto o produto vetorial dos dois fornece um vetor normal ao plano que voce quer determinar

$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{n}\times\overrightarrow{PQ}$

Entendi. Obrigado!

por **Danilo** » Sex Out 26, 2012 01:09

MarceloFantini escreveu:Se , então todo ponto do plano será da forma . Você pode encontrar a normal fazendo o produto vetorial dos vetores diretores.

Vemos que o ponto já pertence, basta substituir na equação geral e encontrar o coeficiente que falta.

Marcelo, eu não entendi a relação (x,y,z) = (x,y,y) = x(1,0,0) + y(0,1,1)

sendo que (1,0,0) e o outro ponto pertencem ao outro plano. E não entendi também quando você diz que ''Você pode encontrar a normal fazendo o produto vetorial dos vetores diretores.''. Sei que um vetor diretor é o vetor que é paralelo a uma reta.

por **MarceloFantini** » Sex Out 26, 2012 01:30

Um vetor diretor é simplesmente um vetor na direção dada. Qualquer outro vetor nesta direção será múltiplo dele.

Os vetores diretores do plano são os vetores tais que quaisquer pontos do plano serão combinação linear deles.

No caso, eu reescrevi um ponto qualquer do espaço, pertencente ao plano, de uma forma que seria fácil ver quais são esses vetores. Note que

(x,y,z) = (x,y,y) = (x + 0y, 0x + y, 0x+y)

(x,y,z) = (x,y,y) = (x + 0y, 0x + y, 0x+y)

= (x, 0x, 0x) + (0y, y, y) = x(1,0,0) + y(0,1,1)

.

Você precisa estar ciente que

e

são números, ou seja, escalares, e portanto se tiver um vetor que todas as coordenadas estejam multiplicadas por eles, podemos colocá-lo para fora.

O produto vetorial ao qual me referi é o seguinte: $(1,0,0) \times (0,1,1)$ . Eles são os vetores diretores do plano, conforme os argumentos acima.