Derivada direcional

por **barbara-rabello** » Seg Out 15, 2012 20:40

Seja a função f(x,y,z) abaixo:
$\frac{x^3}{(x^2)+(y^2)+(z^2)}, se (x,y,z) \neq (0,0,0,) 0, se (x,y,z)= (0,0,0)$

e $$\overrightarrow{u}$ = $(\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3})$

Como calculo a derivada direcional fora da origem?
Só consegui calcular na origem (usando a definição de derivada) e achei $\frac{1}{9}$ como resposta,
mas não sei como calcular fora da origem.

por **MarceloFantini** » Seg Out 15, 2012 21:57

A derivada direcional é definida como $D_v f = \nabla f(x,y,z) \cdot \vec{v}$ , ou seja, a projeção do gradiente na direção do vetor $\vec{v}$ . Não sei como você calculou na origem, mas o enunciado não parece estar completo. Qual é o ponto que você quer encontrar a derivada direcional?

por **young_jedi** » Seg Out 15, 2012 22:00

a derivada direcional é dada pelo produto escalar do vetor gradiente pelo vetor direção

$\nabla f.\overrightarrow{u}=$

$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\^i+\frac{\partial f}{\partial y}\^j+\frac{\partial f}{\partial z}\^k\right).\overrightarrow{u}$

por **barbara-rabello** » Ter Out 16, 2012 16:39

O enunciado é só isso mesmo, ele não fala de ponto.

Na origem $\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(0,0,0 + h$\overrightarrow{u})-f(0,0,0)}{h}$ ,

que fica f $\left(\frac{h}{3},\frac{2h}{3},\frac{2h}{3} \right)$

Me desculpa, o vetor certo é: $$\overrightarrow{u})=\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3} \right)$

por **barbara-rabello** » Ter Out 16, 2012 16:40

Me desculpem, na fórmula do limite, aquele 'h' com risco em cima é na verdade o denominador, saiu errado!!

por **young_jedi** » Ter Out 16, 2012 19:37

talvez o exercicio so peça para calcular o produto escalar do vetor gradiente pelo vetor $\overrightarrow{u}$ , e deixar em função de x, y e z, para encontrar a derivada direcional em qualquer ponto seria so substituir os pontos dai.
Se voce quiser colocar o enunciado exatamente como ele esta para agente dar uma olhada...

por **barbara-rabello** » Qua Out 17, 2012 12:47

Então, o enunciado é esse:

Seja a função f(x,y,z) abaixo:

$\frac{x^3}{x^2+y^2+z^2}, se (x,y,z) [tex]\neq (0,0,0)$

0, se (x,y,z) = (0,0,0)
e $$\overrightarrow{u}=\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3} \right)$
Calcule $\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{u}}\$ para (xo,yo,zo)[\tex] \neq[\tex] 0.
Calcule $\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{u}}\$ (0,0,0)

por **barbara-rabello** » Qua Out 17, 2012 12:47

Me desculpem, aparedeu um cifrão nas derivadas que não tem!!

por **young_jedi** » Qua Out 17, 2012 19:48

Barbara-rabello

acho que é isso mesmo, o exercicio so pede pra voce calcular o produto escalar do vetor gradiente pelo vetor direção e deixar em função de x,y e z