Derivada - Taxa de variação - velocidade

por **emanes** » Qua Out 17, 2012 11:10

Bom dia,

Alguém poderia me ajudar no exercício abaixo, pois estou estudando derivada agora e não estou entendendo o cálculo da taxa de variação:

Um carro A esta indo rumo a oeste a 50km/h e o carro B esta indo rumo norte a 60km/h. Ambos estão se dirigindo para uma encruzilhada das duas retas. A que velocidade os carros estão se aproximando um do outro quando o carro A está a 300m e o carro B está a 400m da encruzilhada?

por **young_jedi** » Qua Out 17, 2012 11:50

Podemos notar que um deles faz uma trajetoria vertical e o outro horizontal

vamos dizer que a distancia de A ate a encruzilhada é x e a de B é y
com isso temos que a distancia entre os dois é

$s=\sqrt{x^2+y^2}$

em função do tempo

$s(t)=\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}$

então a velocidade que eles se aproximam é

$v=\frac{ds}{dt}$

derivando a equação de s então

$v=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}}.\left(2.x(t).\frac{dx}{dt}+2.y(t).\frac{dy}{dt}\right)$

mais voce sabe que $\frac{dx}{dt}$ e $\frac{dy}{dt}$ , são as velocidades de A e B então substituindo as velocidades e as distancias de A e B chega-se a velocidade e aproximação

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