Reta Tangente

por **marinalcd** » Sáb Out 13, 2012 16:40

Não estou conseguindo elaborar esta questão.
Usando a propriedade que o vetor gradiente de uma função é normal a um conjunto de nível, determine a equa¸cão da reta tangente à curva de interseção das superfícies
x² ? y² ? z² + 12 = 0 e 3x² + y² + z = 4 no ponto (1, 2,?3).

por **young_jedi** » Sáb Out 13, 2012 21:17

podemos dfinir

F(x,y,z)=x^2-y^2-z^2+12

e

calculando o gradiente das funções F F2, no ponto voce encontra os vetores normais as superficie no ponto, fazendo o produto vetorial deste dois vetores voce encontra um vetor que é normal aos vetores normais, sendo assim este vetor define a reta tangente.

$\frac{\partial F(x,y,z)}{\partial x}\Bigg|_{(1,2,-3)}=2$

$\frac{\partial F(x,y,z)}{\partial y}\Bigg|_{(1,2,-3)}=-4$

$\frac{\partial F(x,y,z)}{\partial z}\Bigg|_{(1,2,-3)}=6$

$\overrightarrow{v}=(2,-4,6)$

$\frac{\partial F_2(x,y,z)}{\partial x}\Bigg|_{(1,2,-3)}=6$

$\frac{\partial F_2(x,y,z)}{\partial y}\Bigg|_{(1,2,-3)}=4$

$\frac{\partial F_2(x,y,z)}{\partial z}\Bigg|_{(1,2,-3)}=1$

$\overrightarrow{n}=(6,4,1)$

fazendo

$\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{n}$

encontra se o vetor que determina a reta tangente e com o ponto (1,2,-3), determina-se a reta.

por **MarceloFantini** » Sáb Out 13, 2012 21:50

Jedi, vide #1.

por **young_jedi** » Sáb Out 13, 2012 21:58

blz Marcelo, não tinha visto topico anterior ai.
valeu pelo toque
é que eu tinha um professor que escrevia assim, por causa da caligrafia dele, pra não causar confusão
dai eu me abtuei a escrever assim
mais pode deixar que eu mudo nos outros dois topicos.

por **marinalcd** » Seg Out 15, 2012 20:21

Calculei o produto dos vetora e deu: (-28, 34, 32)

Aí eu usei a seguinte fórmula de eq. tangente:
z + 3 = -28 (x - 1) + 34(y - 2)

Entretanto não utilizei o 32 na fórmula, tem problema ou eu que usei a fórmula errada?

por **young_jedi** » Seg Out 15, 2012 21:41

Na realidade voce utilizou a formula errada, repare que a equação que voce encontrou representa um plano e não uma reta.

voce tendo o vetor diretor da reta, uma representação da reta seria multiplicar este vetor por um valor t e somar com um ponto pertencente a reta ou seja:

t(-28,34,32)+(1,2,-3)

com isso tiramos as equações parametricas da reta

$\begin{cases}x=-38.t+1\\y=34t+2\\z=32.t-3\end{cases}$

por **marinalcd** » Ter Out 16, 2012 18:43

Você tem toda razão, eu calculei como plano tangente e não como reta.
Muito obrigada pela ajuda!!

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