[Séries] Há uma fórmula explicita para esta série?

por **Rilke** » Sáb Out 13, 2012 13:42

Alguém sabe se há uma fórmula para a série abaixo.
É uma dúvida antiga que achei nos meus apontamentos.

$S_n=\sum_{i=0}^n \frac{1}{(1+ia)}$

Grato pela atenção.

por **e8group** » Sáb Out 13, 2012 16:07

Eu tenho uma idéia ,não sei se estar certo mas de qual quer forma vou compartilhar .

Visto que :

A_1 = 1 + a

$A_n = A_{n-1} +a$

A_n = A_1 + (n-1)a

$S_m = \frac{m(A_1 + A_m )}{2} \implies S_m = \frac{m( 2(a+1) + (n-1)a}{2}$ . Assim , teremos que :

$\sum _{j=0}^n \frac{1}{(1+a_j)} = S_n ^{-1} = \frac{2}{n( 2(a+1) + (n-1)a ) } = \frac{2}{n( (n+1)a +2)}$

Espero estar certo , se não faz sentido ignore .

por **e8group** » Sáb Out 13, 2012 16:16

Hmm . Eu testei alguns valores aqui e realmente não faz sentido . Se fosse ,

$\sum_{i=0}^{n} 1 +ai$ , poderíamos dizer que $\sum_{i=0}^{n} 1 +ai = \frac{n(a(n+1) +2)}{2} + 1$

por **MarceloFantini** » Sáb Out 13, 2012 17:14

Isto não é uma série, é uma soma parcial. Além disso, o que é

? Existe alguma informação a respeito dele, como por exemplo se |a|<1

? Ou

? Claramente $ai \neq -1$ por condições de existência, mas parece pouco.

Santhiago, lembre-se que

$\sum_{i=0}^n \frac{1}{1+ia} = \frac{1}{1 + a} + \cdots + \frac{1}{1+na} \neq S_n^{-1} = \frac{1}{\sum_{i=0}^n 1+ia} = \frac{1}{(1+a) + \cdots + (1+na)}$ .

por **Rilke** » Sáb Out 13, 2012 18:19

Prezado Marcelo,
tem razão, sendo formal, o termo série é reservado para soma infinita dos elementos de uma sequência e portanto só seria série se $n=\infty$ .

Quanto ao

é uma constante. As restrições fazem parte da questão, mas se ajudar podemos considera-la maior que zero.

Ajudaria muito qualquer informação, inclusive negativa, do tipo ninguém nunca ouviu falar de uma expressão para esta soma parcial.

Muito agradecido pela atenção e observações

Rilke

por **Rilke** » Dom Out 14, 2012 16:50

Prezados colegas, muito obrigado pela participação.
Tive que procurar um pouco mas consegui e, embora a solução seja mais complexa do que eu gostaria, finaliza a questão.

$S_n=\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{ai+1} = \dfrac{\varPsi^{(0)} (n+\dfrac{1}{a}+1) - \varPsi^{(0)} (1+\dfrac{1}{a})} {a}$

Onde $\varPsi^{(n)}$ é a n-ésima derivada da função Digamma

Atenciosamente,
Rilke