Polinômios - Raízes complexas

[Malorientado]

Determinar o conjunto solução de x³-ix²+4x-4i=0, i é raíz.
Bom se i é raíz, -i também é, certo? Multiplicando (x+i)(x-i) eu tenho dois fatores da equação, que posso usar para descobrir o outro fator, que contém a outra raíz(3° grau, 3 raízes). Basta que eu divida a equação pelos fatores e por q(x) encontrar a que falta. Está correto esse modo de resolução? E no caso de uma equação de grau 5, se for me dado duas ráizes Reais(tipo 2 e 1), mesmo que eu divida, ainda terei uma equação de grau 3 em q(x), que não aceita Bháskara. Nesses casos o único modo mais simples de se resolver é criar um fator com incógnitas, multiplicar pelos fatores com raízes dadas e depois igualar? Tipo: 1°coeficiente(x-1)(x-2)(x-a)(x-b)(x-c).

[MarceloFantini]

Sim, está correto seu método de resolução. No caso de um polinômio do quinto grau, se após reduzir os fatores for de terceiro grau, você sabe que existe ainda pelo menos uma raíz real e tenta encontrá-la. É muito difícil trabalhar com polinômios de grau maior que quatro pois não existe fórmula usando apenas operações comuns e radiciação. O que acontece na prática é o uso de cálculos numéricos.

[Malorientado]

Então teria mesmo que efetuar 1°coeficiente(x-1)(x-2)(x-a)(x-b)(x-c) para depois comparar. Será que existe a possibilidade de encontrar uma questão assim em um concurso com nível de vestibular?

[MarceloFantini]

Podem aparecer questões com polinômios de graus maiores, mas quase sempre as raízes são muito simples, como inteiros. No caso de haver complexas, você reduz em duas quadráticas e tudo sai normalmente. Nem sempre é necessário fatorar e igualar coeficientes, mesmo porque este procedimento só é útil quando falta apenas um. Se houver mais coeficientes desconhecidos, pode não ser possível determiná-los unicamente.