[Equação de planos] Dùvida exercício 2

[MrJuniorFerr]

Sei que eu deveria postar apenas 1 exercício por tópico, mas são 2 exercícios muito parecidos, portanto, os postarei aqui:

Escreva uma equação do plano paralelo ao eixo z e que contém os pontos A(2,0,0) e B(0,3,2).

Sei que quando um plano é paralelo a um eixo, este eixo é zero na equação deste plano, mas o que eu posso retirar desta informação?

Eu faria assim:





Sei que para achar o valor de d da equação do plano, eu deveria fazer:

portanto, temos:


Mas, como podem ver, há 3 variáveis... não sei o que fazer.

Escreva uma equação do plano paralelo ao eixo z e que contém o ponto (1,1,1)

Como eu havia dito, sei que na equação deste plano , mas não sei o que retirar desta informação para que eu possa relaciona-lo com este ponto dado.

[young_jedi]

note que

se o plano é paralelo ao eixo z, então a coordenada z é livre na equação do plano ou seja
a equação do plano fica



substituindo os dois pontos que voce tem nos valores de x e y voce encontra os valores de b e c e assim a equação do plano

[MrJuniorFerr]

note que

se o plano é paralelo ao eixo z, então a coordenada z é livre na equação do plano ou seja
a equação do plano fica



substituindo os dois pontos que voce tem nos valores de x e y voce encontra os valores de b e c e assim a equação do plano

young_jedi, não deveria ser ? Por que o foi retirado?

[MrJuniorFerr]

young_jedi, como vou substituir os dois pontos nos valores de x e y? Se fosse apenas um eu saberia como substituir rsrs

[young_jedi]

se voce dividir a equação inteira por a voce nao altera ela em nada continua sendo a equação do mesmo plano
fiz isto para que pudesse ficar so com duas variaveis





substituindo e



é o mesmo plano so que aplicando os pontos voce so tem duas incognitas

[MrJuniorFerr]

Como encontro o vetor normal (n), ou seja, perpendicular ao plano?
O gabarito do exercício é , ou seja, e . Mas como achar este vetor n?
Não seria necessário achar mais um ponto do plano? pois assim, tendo um ponto A, B e C, e fazendo os vetores e , . E então?

Obs: como colocar as flechinhas do latex encima de AB, AC (vetores)?

[young_jedi]

pegando a equação do plano



substituindo os pontos A e B





resolvendo se tira




então a equação fica



multiplicando por 3



as flexinhas são

\overrightarrow{AB}

[MrJuniorFerr]

Impressionante young_jedi. Não imaginava que podia ser feito desta forma...
Sem dividir a equação inteira por , teria outro modo para resolver este exercício?
Obrigado

[young_jedi]

um jeito simples de se resolver seria encontrar a reta que passa pelo ponto A e pelo ponto B
temos que esta reta estaria contida no plano com a diferença que no plano o valor de z seria livre para qualquer valor


Da maneira que voce pensou de encontrar um outro ponto C e fazer o produto vetorial AC e BC para encontrar o valor normal tambem daria certo
para encontrar o ponto C, oque voce poderia fazer é encontra o vetor projeção de AB sobre o plano xy com isso achar um vetor AC, mais seria mais trabalhoso

[MrJuniorFerr]

Tentei resolver o outro exercício desta forma e não deu certo...

Escreva uma equação do plano paralelo ao eixo z e que contém o ponto (1,1,1)

, como o plano é paralelo ao eixo z, temos:

, dividindo a equação por a:





, substituindo o ponto em x e y:





Portanto, ficou em função de , ou seja, se eu substituir o valor de na equação do plano, temos:









E agora, o que fazer?

[young_jedi]

repare que o exercicio pede uma equação de um plano que passe pelo ponto (1,1,1) e seja paralelo ao eixo z

existe mais de um plano que satisfaz essas condições, para isso basta que n e m respeite essa relação de m e n que voce achou, ou seja, seja a equação do plano é da forma



se voce substituir m por um valor qualquer voce encontra um plano que satisfaz isto

[MrJuniorFerr]

repare que o exercicio pede uma equação de um plano que passe pelo ponto (1,1,1) e seja paralelo ao eixo z

existe mais de um plano que satisfaz essas condições, para isso basta que n e m respeite essa relação de m e n que voce achou, ou seja, seja a equação do plano é da forma



se voce substituir m por um valor qualquer voce encontra um plano que satisfaz isto

Ok young_jedi,
Cheguei nesta equação , atribuindo um valor, temos ;


, esta seria a equação do plano?
O gabarito do exercício é .
E uma dúvida, percebeu que eu não utilizei em nada o ponto (1,1,1) dado? Então esta equação é pertencente em qualquer ponto?

[young_jedi]

na verdade voce tirou x=1 e y=1 do ponto (1,1,1) para achar a equação de m e n

com relação a outra duvida, surgiu uma duvida minha

no enunciado diz para encontrar um plano paralelo ao exio z
se no gabarito a resposta é o plano



este plano é perpendicular ao eixo z e não paralelo, sera que existe um erro no enunciado?

[MrJuniorFerr]

na verdade voce tirou x=1 e y=1 do ponto (1,1,1) para achar a equação de m e n

com relação a outra duvida, surgiu uma duvida minha

no enunciado diz para encontrar um plano paralelo ao exio z
se no gabarito a resposta é o plano



este plano é perpendicular ao eixo z e não paralelo, sera que existe um erro no enunciado?

É verdade, usei o ponto para achar o valor de n.
Bom, é o enunciado que está na minha lista, talvez esteja errado por parte da professora. Na próxima aula de GA (terça-feira), tirarei esta dúvida com ela.
Então quando um plano é perpendicular a um eixo, a equação do plano será ou ou ?
*k = constante

[young_jedi]

Sim, se um plano é perpendicular a um eixo, isso quer dizer que qualquer vetor na direção do eixo é normal ao plano
ou seja a equação do plano é uma das cooredenadas igual a um valor qualquer.