[Integral trigonometrica] - Dúvidas

por **rafiusk** » Qui Out 04, 2012 18:05

$\int\sqrt\frac{x^2-9}{x^3}{}}^{}$

Eu cheguei na resposta $\frac{\Theta}{6}-\frac{1}{12}*sen \Theta$

Se alguém puder ajudar.

por **young_jedi** » Sex Out 05, 2012 19:12

sua integral seria assim

$\int\frac{\sqrt{x^2-9}}{x^3}dx$

ou o x^3

esta dentro da raiz mesmo?

por **rafiusk** » Sáb Out 06, 2012 12:19

Young é do jeito que vc colocou mesmo ${x}^{3}$ está fora da raiz.

por **young_jedi** » Sáb Out 06, 2012 13:52

fazendo a substituição trigonometrica

$x=\frac{3}{cos\theta}$

$dx=\frac{3sen\theta}{cos^2\theta}d\theta$

substituindo na integral

$\int\frac{\sqrt{\frac{9}{cos^2\theta}-9}}{\frac{3^3}{cos^3\theta}}\frac{3sen\theta}{cos^2\theta}d\theta=$

$\int\frac{sen\theta.cos\theta}{3^2}\sqrt{\frac{9.(1-cos^2\theta)}{cos^2\theta}}d\theta=$

$\int\frac{sen\theta.cos\theta}{3^2}\sqrt{\frac{9sen^2\theta}{cos^2\theta}}d\theta=$

$\int\frac{1}{3}sen^2\theta.d\theta=$

$\frac{1}{3}\int{\frac{1-cos(2\theta)}{2}}d\theta=$

$\frac{1}{6}\theta-\frac{1}{12}sen(2\theta)$

$\frac{\theta}{6}-\frac{1}{12}2sen\theta.cos\theta$

$\frac{\theta}{6}-\frac{2}{12}\sqrt{1-cos^2\theta}.cos\theta$

mais como

$cos\theta=\frac{3}{x}$

então

$\frac{1}{6}arccos\left(\frac{3}{x}\right)-\frac{1}{6}\sqrt{1-\left(\frac{3^2}{x^2}\right)}.\frac{3}{x}$