[Limites e Continuidade] - Sair da Indeterminação

por **Cassiano** » Ter Set 25, 2012 11:41

Bom dia.

Tenho um problema matemático que estou com dificuldades para resolver.
Eu tenho um certo conhecimento dos conceitos básicos de limites e continuidade, mas estou tendo muitas dificuldades para resolver o problema abaixo, pois não consigo eliminar a indeterminação dos denominadores.

Verifique se a seguinte função é contínua nos pontos X:
$x = 0 , x = 2, f(x) = \begin{align} \frac{1-{x}^{2}}{\sqrt[]{x}-1} , x>1 \\ \frac{{2x}^{2}-2}{1-x}, x<1 \\ -5, x=1 \end{align}$

Não domino esta ferramenta de criação de equações, então talvez eu não tenha feito corretamente. Espero que entendam e possam me ajudar, pois preciso muito.
Eu não consegui inserir um colchete para agrupar as 3 funções.
Desde já agradeço.

Cassiano

por **LuizAquino** » Qua Set 26, 2012 08:17

Cassiano escreveu:Bom dia.

Tenho um problema matemático que estou com dificuldades para resolver.
Eu tenho um certo conhecimento dos conceitos básicos de limites e continuidade, mas estou tendo muitas dificuldades para resolver o problema abaixo, pois não consigo eliminar a indeterminação dos denominadores.

Verifique se a seguinte função é contínua nos pontos X:
$x = 0 , x = 2, f(x) = \begin{align} \frac{1-{x}^{2}}{\sqrt[]{x}-1} , x>1 \\ \frac{{2x}^{2}-2}{1-x}, x<1 \\ -5, x=1 \end{align}$

Você já sabe que uma função é contínua em x = 0 se acontecer $\lim_{x\to 0} f(x) = f(0)$ .

Analisando a função, note que:

$f(0) = \dfrac{2\cdot 0^2 - 2}{1 - 0} = -2$

Já o limite será:

$\lim_{x\to 0} f(x) = \lim_{x\to 0} \dfrac{2x^2 - 2}{1 - x} = \dfrac{2\cdot 0^2 - 2}{1 - 0} = -2$

Conclusão: a função é contínua em x = 0.

De modo semelhante, a função é contínua em x = 2 se acontecer $\lim_{x\to 2} f(x) = f(2)$ .

Analisando a função, note que:

$f(2) = \dfrac{1 - 2^2}{\sqrt{2} - 1} = -3\left(\sqrt{2} + 1\right)$

Já o limite será:

$\lim_{x\to 2} f(x) = \lim_{x\to 2} \dfrac{1 - x^2}{\sqrt{x} - 1} = \dfrac{1 - 2^2}{\sqrt{2} - 1} = -3\left(\sqrt{2} + 1\right)$

Conclusão: a função é contínua em x = 2.

Note que em nenhum dos dois casos houve uma indeterminação no cálculo do limite. Ou seja, em nenhum dos dois limites apareceu algo como "0/0". Portanto, não foi necessário efetuar simplificações.

Vamos imaginar agora que a pergunta fosse: essa função é contínua em x = 1?

Nesse caso, temos que f(1) = -5.

Já o limite lateral pela esquerda será:

$\lim_{x\to 1^-} f(x) = \lim_{x\to 1^-} \dfrac{2x^2 - 2}{1 - x}$

$= \lim_{x\to 1^-} \dfrac{2(x - 1)(x + 1)}{1 - x}$

$=\lim_{x\to 1^-} \dfrac{2(x - 1)(x + 1)}{-(x - 1)}$

$=\lim_{x\to 1^-} -2(x + 1)} = -4$

Só com esses dois resultados já podemos dizer que a função não é contínua em x = 1. Mas vamos calcular também o limite pela direita para treinar:

$\lim_{x\to 1^+} f(x) = \lim_{x\to 1^+} \dfrac{1 - x^2}{\sqrt{x} - 1}$

$= \lim_{x\to 1^+} \dfrac{(1 - x)(1 + x)}{\sqrt{x} - 1}$

$= \lim_{x\to 1^+} \dfrac{(1 - x)(1 + x)\left(\sqrt{x} + 1\right)}{\left(\sqrt{x} - 1\right)\left(\sqrt{x} + 1\right)}$

$= \lim_{x\to 1^+} \dfrac{(1 - x)(1 + x)\left(\sqrt{x} + 1\right)}{x - 1}$

$= \lim_{x\to 1^+} \dfrac{(1 - x)(1 + x)\left(\sqrt{x} + 1\right)}{-(1 - x)}$

$= \lim_{x\to 1^+} -(1 + x)\left(\sqrt{x} + 1\right) = -4$

Cassiano escreveu:Não domino esta ferramenta de criação de equações, então talvez eu não tenha feito corretamente. Espero que entendam e possam me ajudar, pois preciso muito.
Eu não consegui inserir um colchete para agrupar as 3 funções.

Use o seguinte código:

Código: Selecionar todos: [tex] f(x) = \begin{cases} \frac{1-{x}^{2}}{\sqrt{x}-1} , x>1 \\ \frac{{2x}^{2}-2}{1-x}, x<1 \\ -5, x=1 \end{cases} [/tex]

O resultado desse código será:

$f(x) = \begin{cases} \frac{1-{x}^{2}}{\sqrt{x}-1} , x>1 \\ \frac{{2x}^{2}-2}{1-x}, x<1 \\ -5, x=1 \end{cases}$

Para obter um resultado um pouco maior use o código:

Código: Selecionar todos: [tex] f(x) = \begin{cases} \dfrac{1-{x}^{2}}{\sqrt{x}-1} , x>1 \\ \dfrac{{2x}^{2}-2}{1-x}, x<1 \\ -5, x=1 \end{cases} [/tex]

O resultado desse código será:

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1-{x}^{2}}{\sqrt{x}-1} , x>1 \\ \dfrac{{2x}^{2}-2}{1-x}, x<1 \\ -5, x=1 \end{cases}$

por **Cassiano** » Qua Set 26, 2012 09:04

Muito obrigado pela ajuda.
Ainda bem que você se antecipou e resolveu para x=1, pois eu escrevi o enunciado errado. O Correto era de fato para x=1.
Muito obrigado mais uma vez.

Cassiano