Como saber se duas funções se interceptam ou não.

por **marlonsouza23** » Sex Set 21, 2012 18:48

Enunciado: Consideremos as duas funções de uma variável real, f(x) = x – 1 e g(x) = 1/x . Desta maneira, podemos afirmar que f(x) e g(x) são tais que?

a) ( ) Interceptam-se em dois pontos.

b) ( ) Não se interceptam.

c) ( ) Interceptam-se em um único ponto de abscissa negativa.

d) ( ) Interceptam-se em um único ponto de abscissa positiva.

e) ( ) Interceptam-se em um único ponto de ordenada negativa.

Bom, eu igualei f(x) com g(x), porém estou chegando a dois valores para x (uma vez que obtive a seguinte equação de segundo grau: x^2 - x - 1 = 0

). Aí agora não me lembro o que devo fazer: isso quer dizer que as duas funções acima se interceptam em dois pontos ou quer dizer que elas não se interceptam?

por **fraol** » Sex Set 21, 2012 22:23

Você, agora, deve resolver essa equação do 2o. grau. Se ela tiver duas raízes reais distintas então os gráficos das funções originais se interceptam em dois pontos, cujas abcissas são as raízes encontradas. Se a equação tiver só uma solução real então haveria apenas um ponto de intersecção. Se não tiver raízes então não haveria intersecção.

por **marlonsouza23** » Sáb Set 22, 2012 15:42

Tá, eu consegui rewsolver a equação, porém o delta deu 5, como 5 não apresenta raiz quadrada a resposta ficou $x = (1 + \sqrt[]{5}) / 2$ ou $x = (1 - \sqrt[]{5}) / 2$ . Dessa forma como eu faço pra ver se estes valores satisfazem a equação? Ou isso já quer dizer que a equação tem duas soluções e portanto as funções se interceptam em dois pontos?

por **fraol** » Sáb Set 22, 2012 16:04

marlonsouza23 escreveu:Ou isso já quer dizer que a equação tem duas soluções e portanto as funções se interceptam em dois pontos?

Sim, quer dizer que os gráficos das funções se interceptam em dois pontos.

Para verificar você deve substituir cada um dos dois

que você encontrou tanto em f(x)

com em

e desenvolver - ambos os resultados devem ser iguais.

Por exemplo, vamos verificar para $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ :

$f(x) = x - 1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{5} - 1 }{2}$

e

$g(x) = \frac{1}{x} = \frac{1}{ \frac{1 + \sqrt{5}}{2}} = \frac{2}{1 + \sqrt{5}} = \frac{2}{1 + \sqrt{5}} \cdot \frac{{1 - \sqrt{5}}}{{1 - \sqrt{5}}} = \frac{2 \cdot ({1 - \sqrt{5}})}{-4} = \frac{\sqrt{5} - 1 }{2}$

Analogamente, você pode verificar para $x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

.