Resolução correta?

por **Malorientado** » Sáb Set 08, 2012 14:37

Uma matriz A é de ordem 2, inversível, e A²=2A. Det A=?
Fiz det (2A)= det A * 2²= 4det A
Então 4det A= det A * det A
Passando det A pro outro lado 4= detA, está correto? Em uma resolução que vi na net encontrei: 2².det(A) = det(A).det(A)
4.det(A) – [det(A)]2 = 0
Não entendi por que det(A) . det(A) virou [det(A)]2

por **MarceloFantini** » Sáb Set 08, 2012 15:36

Porque determinante é um número, daí $\det A \cdot \det A = (\det A)^2$ . Não sei o que você quer dizer com passar para o outro lado, mas sua solução está parcialmente correto. Se este "passar" for dividir, você está excluindo o caso em que $\det A =0$ , que certamente satisfaz a equação.

por **Malorientado** » Sáb Set 08, 2012 16:38

Hum esse 2 em [det(A)]2 é expoente, não tinha visto assim. Está realmente desse jeito onde peguei a resposta. Do modo que calculei, cheguei a somente 4 mas agora que você falou vejo que 0 também é solução. Como eu deveria resolver esse exercício pra achar todas as respostas possíveis? Perdoe mas estou tendo dificuldades nessa matéria.

por **MarceloFantini** » Sáb Set 08, 2012 16:44

Deveria resolver assim: você encontrou que $(\det A)^2 = 4 \det A$ , daí $(\det A)^2 - 4 \det A = 0$ . Ponha $\det A$ em evidência e temos $\det A(\det A -4)=0$ . Um produto nos números reais é zero quando pelo menos um dos seus fatores é zero, então $\det A =0$ ou $\det A - 4=0$ e $\det A = 4$ . São as duas possibilidades.

por **vmo_apora** » Dom Set 09, 2012 13:23

Uma outra solução poderia ser:

Seja $\begin{array}{clcr} {\bf A}=\left[\begin{array}{clcr} a & b \\ c & d \end{array}\right] \end{array}$ então ${A}^{2}= $\begin{array}{clcr} {\bf}\left[\begin{array}{clcr} {a}^{2} & ab + bd \\ ac + dc & bc +{d}^{2} \end{array}\right] \end{array}$$ , temos também que $2A={A}^{2}$ . Desta forma $\begin{array}{clcr} \left[\begin{array}{clcr} 2a & 2b \\ 2c & 2d \end{array}\right] \end{array}$ = $\begin{array}{clcr} {\bf}\left[\begin{array}{clcr} {a}^{2} & ab + bd \\ ac + dc & bc +{d}^{2} \end{array}\right] \end{array}$ , daí vem $2b=ab+bd=b(a+d) \Rightarrow{2=a+d}\Rightarrow{d=2-a} ~~~ {(1)}$ e que $2a={a}^{2}+bc \Rightarrow{bc=2a-{a}^{2}~~~(2)$
Sabe-se também que $$\begin{array}{clcr} {\bf detA}=\left[\begin{array}{clcr} a & b \\ c & d \end{array}\right] \end{array}$ = ad-bc~~~(3)$ , substituindo (1)~e~(2)~em~(3)