Módulo da derivada

por **dina ribeiro** » Qua Set 05, 2012 17:40

Boa tarde!

Estou tentando achar o módulo da deriravada da equação, mas minha resposta está diferente do "solution" do livro do Stewart

r(t)=t^2i+2tj+lntk

$r'(t)=2ti+2j+\frac{1}{t}k$
$\left|r'(t) \right|=\sqrt[]{{4t}^{2}+4+\frac{1}{{t}^{2}}}$

A resposta não seria $=2t+2+\frac{1}{t}$ ?????

Porque a resposta é $\frac{1+{2t}^{2}}{t}$ ????? Porque a raíz de 4 some?

Obrigada!!!

por **Russman** » Qua Set 05, 2012 19:08

Se um vetor

tem componentes (a,b,c)

, isto é,

, então seu módulo é a quantidade $\sqrt[]{a^2+b^2+c^2}$ .

Você deve selecionar as componentes uma a uma e elevá-las ao quadrado. Depois some-as e calcule a raíz quadrada positiva.

Veja que?

(2t)^2 = 4t^2

$\left( \frac{1}{t} \right)^2=\frac{1}{t^2}$

Assim, o módulo da derivada de r(t)

será $\sqrt[]{4t^2 + 4 + \left(\frac{1}{t^2} \right)}=\sqrt[]{\frac{4t^4+4t^2+1}{t^2}} = \frac{1}{t}\sqrt[]{(2t^2 + 1)^2}=\frac{1}{t}\left(2t^2+1 \right)$ .

Confere com o gabarito.

Note que 4t^4 + 4t^2 + 1 = (2t^2 + 1)^2

.

por **LuizAquino** » Qua Set 05, 2012 19:20

dina ribeiro escreveu:Estou tentando achar o módulo da deriravada da equação, mas minha resposta está diferente do "solution" do livro do Stewart

$r'(t)=2ti+2j+\frac{1}{t}k$
$\left|r'(t) \right|=\sqrt[]{{4t}^{2}+4+\frac{1}{{t}^{2}}}$

A resposta não seria $=2t+2+\frac{1}{t}$ ?????

Na sua resposta você cometeu um erro: achar que $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ é o mesmo que a + b + c. Isso é falso! Veja um exemplo.

De um lado, temos que:

$\sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}$

E por outro lado, temos que:

1 + 2 + 4 = 7

Note então que $\sqrt{1 + 4 + 16} \neq 1 + 2 + 4$ .

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