[Matrizes] Dúvida conceitual

por **souzalucasr** » Qua Ago 22, 2012 14:26

Pessoal,

Estou com uma dúvida na seguinte questão conceitual*:

11. Suponha que $\textbf{A}\neq0$ e $\texbf{AB=AC}$ onde $\texbf{A}, \texbf{B}, \texbf{C}$ são matrizes tais que a multiplicação esteja definida.

a) $\texbf{B}=\texbf{C}$ ?

b) Se existir uma matriz $\texbf{Y}$ , tal que $\texbf{YA}=\texbf{I}$ , onde $\texbf{I}$ é a matriz identidade, então $\texbf{B}=\texbf{C}$ ?

Bem, a resposta do item (a) é não, pois não necessariamente $\texbf{B}=\texbf{C}$ quando $\texbf{AB}=\texbf{AC}$ .

Minha dúvida está no item (b).

Entendo que se $\texbf{YA=I}$ , então $\texbf{Y=A^{-1}}$ , visto que uma matriz multiplicada por sua inversa é igual à matriz identidade. No entanto, eu não sei justificar como esse fato afetaria a proposição acima, ou seja, se o fato de que a matriz $\texbf{A}$ tem uma inversa teria alguma influência na proposição de que $\texbf{AB=AC}$ .

Alguém poderia me ajudar?

*Fonte: Álgebra Linear, 3a edição, pg. 12, Ed. Harbra, Boldrini et al

por **MarceloFantini** » Qua Ago 22, 2012 20:47

Uma matriz pode ter inversa à esquerda, daí teríamos que Y(AB) = Y(AC)

, e usando associatividade segue (YA)B = (YA)C

. Usando o fato que YA = I

, então

e

e portanto B=C

.

por **souzalucasr** » Qua Ago 29, 2012 11:44

MarceloFantini escreveu:Uma matriz pode ter inversa à esquerda, daí teríamos que , e usando associatividade segue . Usando o fato que , então e e portanto .

Obrigado pela resposta, Marcelo!

Eu poderia dizer então, a partir de sua resposta para o item (b) e da resposta que apresentei para o item (a), que sempre que uma matriz

é não-singular, então AB=AC

implica em B=C

?

Digo isso pois entendo que no caso exposto em (a), em que AB=AC

, a matriz deve ser singular para que $B\neq C$ seja verdadeiro. Estou correto em afirmar isso?

por **MarceloFantini** » Qua Ago 29, 2012 12:22

Uma matriz ser não-singular significa que ela tem inversa pela direita e pela esquerda, o que não precisa ser verdade. A resposta para o item (a) é claro que não necessariamente, tome $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ e $C = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ , então AB = AC = 0