[Produto Tensorial] Tensores como aplicações lineares?

por **CaptainObvious** » Sex Ago 17, 2012 22:05

Boa noite à todos no fórum. Estou trabalhando alguns exercícios de álgebra linear, e esbarrei com um problema que me gerou uma dúvida, possivelmente conceitual. A questão é a seguinte:

Mostre que para E = R^n e F = R^m temos:

$L(E,F) = E^* \;\otimes\; F$

Onde L(E,F) é o espaço das aplicações lineares de E em F, E* é o dual de E e o produto entre E* e F é o produto tensorial entre os espaços.

Tentativa:

A tentativa consiste em fazer uma dupla inclusão entre os espaços, i.e., demonstrar que dado um elemento qualquer de L(E,F), este também se encontra em prodT(E*,F) e vice-versa. Se temos uma aplicação A de R^n em R^m, como afirmar que A é igual a um elemento de prodT(E*,F)? Alguém teria alguma dica?

Desde já agradeço

por **MarceloFantini** » Sáb Ago 18, 2012 00:38

O que você afirma não é verdade, estes dois espaços não são iguais. Entretanto, existe um isomorfismo entre eles, logo $\mathcal{L}(E,F) \simeq E^{\ast} \otimes F$ . Não sei que resultados você tem ao seu dispor, mas se você notar que $\dim E^{\ast} = \dim E = n, \dim F = m, \dim E^{\ast} \otimes F = \dim E^{\ast} \cdot \dim F = nm$ e $\dim \mathcal{L}(E,F) = \dim E \cdot \dim F = nm$ , portanto $\mathcal{L}(E,F) \simeq E^{\ast} \otimes F$ .

por **CaptainObvious** » Sáb Ago 18, 2012 08:45

Obrigado pela resposta. Justamente isso me incomodava. Apesar de precisar provar que são iguais, não conseguia motivo algum para poder afirmá-lo. Depois de ter postado, ainda tentei uma solução um pouco menos elegante: Construir uma bijeção entre os dois espaços.

Basicamente o que fiz foi associar uma aplicação A de L(E,F), com uma aplicação f de $E^*\otimes F$ tal que:

$f_A: R^n \rightarrow R \otimes R^m \; ; \; \sum^n_{j=1}(\lambda_{j}.e_{i}) \mapsto \sum^m_{i=1}( \sum^n_{j=1}(\lambda_{j}.a_{ij}*1\otimes e_{i}))$

onde os $1 \otimes e_{i}$ são base para $R \otimes R^m$

Deste modo associaremos cada aplic. de L(E,F) à uma de $E^*\otimes F$ tal que eles levam vetores iguais em vetores de igual representação nas respectivas bases de seus contradomínios. Acha que seguir essa linha estaria correto?

por **MarceloFantini** » Sáb Ago 18, 2012 12:16

Para mostrar que são isomorfos você precisa encontrar uma transformação linear invertível entre os dois espaços. Entretanto, acho que essa sua primeira tentativa de transformação não funciona. E lembre-se: estes dois espaços não são iguais!