Função de segundo grau

por **anfran1** » Qua Ago 15, 2012 16:23

A função $f(x)={x}^{2}+bx+c$ com b e c reais , tem duas raízes distintas pertencentes ao intervalo [-2,3]. Então prove que $-6\prec b\prec4$ .(O sinal representa menor que.)

Para que a função tenha duas raízes distintas $\Delta\succ 0$ , então ${b}^{2}\succ 4c$ . A partir daí não sei como prosseguir. Tentei afirmar que o vértice está nesse intervalo mas não deu certo. O que devo fazer?

por **e8group** » Qua Ago 15, 2012 17:26

Boa tarde . Como você disse , b^2 > 4c

.Perceba que além disso temos que ,

$\begin{cases} x_1+x_2 = -b \\ x_1x_2 = c \end{cases}$ . Assim poderemos obter a seguinte inequação ,

$b^2> 4c \implies b^2> 4x_1(-b-x_1) \implies b^2+4x_1b +4x_1^2 > 0 \implies (b +2x_1)^2 > 0$

Tente concluir .

por **anfran1** » Qua Ago 15, 2012 20:12

Agora eu substituo -2 e 3 no lugar do x e faço o sistema?

por **anfran1** » Qua Ago 15, 2012 20:22

Estive pensando nesse exercício. Como $x=\frac{-b+-\sqrt[2]{\Delta}}{2}$ Será que dá pra fazer $-2\preceq\frac{-b+-\sqrt[2]{\Delta}}{2}\preceq3$ ?

por **e8group** » Qua Ago 15, 2012 20:29

Perceba que b > -2x_1

.Uma vez que $x_1 \in [-2,3]$ ,assim $-2x_1 \in[ -6,4 ]$ .Mas como b > -2x

,logo concluímos que $b \in (-6,4)$ . Em outras palavras -6 < b < 4

. Sendo assim provemos o que queríamos.

Qualquer dúvida comente .

por **anfran1** » Qua Ago 15, 2012 20:32

Já entendi a resolução. Só queria saber se é possível resolver dessa outra maneira. Desde já agradeço.

por **e8group** » Qua Ago 15, 2012 20:39

anfran1 escreveu:Já entendi a resolução. Só queria saber se é possível resolver dessa outra maneira. Desde já agradeço.

A resposta é sim ,contudo se você estabelecer a seguinte inequação b^2 > 4c

que é verdade ,pois sabemos que existe as raízes reais in [-2,3] . Como não temos condição sobre c ,a única coisa que sabemos sobre o mesmo é real e menor que b^2 /4 .