MÁXIMO E MÍNIMO - DERIVADA

por **Andresa_s** » Sex Jul 27, 2012 21:22

QUESTÃO ENVOLVENDO MÁXIMO E MÍNIMO - DERIVADA: ABCD é um pedaço de papel quadrado com lados de comprimento 1 m. Um quarto de círculo é traçado de B a D com centro em A. O pedaço de papel é dobrado ao longo de EF, com E em AB e F em AD, de tal forma que A caia sobre o quarto de círculo. Determine a área máxima e a mínima que o triângulo AEF pode ter. (Tivemos uma dica que para encontrar um resultado é preciso usar também cálculo de semi circulo, desde já agradeço a ajuda!)

por **LuizAquino** » Sex Jul 27, 2012 23:17

Andresa_s escreveu:QUESTÃO ENVOLVENDO MÁXIMO E MÍNIMO - DERIVADA: ABCD é um pedaço de papel quadrado com lados de comprimento 1 m. Um quarto de círculo é traçado de B a D com centro em A. O pedaço de papel é dobrado ao longo de EF, com E em AB e F em AD, de tal forma que A caia sobre o quarto de círculo. Determine a área máxima e a mínima que o triângulo AEF pode ter. (Tivemos uma dica que para encontrar um resultado é preciso usar também cálculo de semi circulo, desde já agradeço a ajuda!)

A figura abaixo ilustra o exercício.

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Analisando a primeira parte da figura, note que AEF é um triângulo retângulo. Já analisando a segunda parte, note que os triângulos A'EA e A'FA são isósceles.

Considerando que $\overline{AE} = x$ , $\overline{AF} = y$ e $E\hat{A^\prime}A = \alpha$ , aplicando a Lei dos Cossenos nos triângulos A'EA e A'FA, lembrando que $\overline{A^\prime A} = 1$ , obtemos que:

$\begin{cases} x^2 = x^2 + 1^2 - 2\cdot x \cdot 1 \cdot \cos \alpha \\ \\ y^2 = y^2 + 1^2 - 2\cdot y \cdot 1 \cdot \cos (90^\circ - \alpha) \end{cases} \implies \begin{cases} x = \dfrac{1}{2\cos \alpha} \\ \\ y = \dfrac{1}{2\cos (90^\circ - \alpha)} \end{cases}$

Note que a área do triângulo AEF será dada por $\frac{xy}{2}$ .

Agora tente continuar o exercício a partir daí.