Limite - assintotas

por **emsbp** » Seg Jul 16, 2012 17:56

Boa tarde. Como posso resolver o seguinte exercício:
«A reta de equação y=-2x+1 é assíntota do gráfico de uma função f, de domínio ${\Re}^{+}$ . Qual o valor de $\lim_{x\rightarrow+\infty}(\frac{f(x)}{x}+2f(x)+4x)$ »
Obrigado!

por **skin** » Seg Jul 16, 2012 21:06

emsbp escreveu:Boa tarde. Como posso resolver o seguinte exercício:
«A reta de equação y=-2x+1 é assíntota do gráfico de uma função f, de domínio ${\Re}^{+}$ . Qual o valor de $\lim_{x\rightarrow+\infty}(\frac{f(x)}{x}+2f(x)+4x)$ »
Obrigado!

Veja,
$\lim_{x\rightarrow+\infty}(\frac{f(x)}{x}+2f(x)+4x)=$

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}+\lim_{x\rightarrow+\infty}(2f(x)+4x)$

e como y=-2x+1

é assintota de f(x)

significa que $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}-2x+1$ .

Para resolver $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}$ vc pode usar L'Hopital.

Espero que ajude.

por **Russman** » Seg Jul 16, 2012 21:08

Você sabe o que é uma assíntota?

por **skin** » Seg Jul 16, 2012 21:11

Russman escreveu:Você sabe o que é uma assíntota?

por **e8group** » Seg Jul 16, 2012 21:19

seria ?

$\lim_{x\to+\infty} f(x) = -2x+1 , \forall x \geq 0$

por **Russman** » Seg Jul 16, 2012 21:31

skin escreveu:
Russman escreveu:Você sabe o que é uma assíntota?

Eu perguntei para o criador do tópico! kk

por **skin** » Ter Jul 17, 2012 01:50

santhiago escreveu:seria ?

$\lim_{x\to+\infty} f(x) = -2x+1 , \forall x \geq 0$

Santhiago,
f(x) = -2x+1

apenas no infinito, por isso escrevemos $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}-2x+1$ .

Só um detalhe....

por **emsbp** » Ter Jul 17, 2012 08:55

Sim, sei o que é uma assintota.
No problema que vos dei, trata-se de uma assintota não vertical, mais concretamente uma assintota oblíqua.
Como temos Y=-2x+1, o declive (m), desta reta será -2, donde m= $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}=-2$ .
Substituindo, no limite pedido fico com -2+ $\lim_{x\rightarrow+\infty} (2f(x) +4x)$ .
A partir daqui, a minha dúvida reside no cálculo do limite que ficou.
Obrigado!

por **e8group** » Ter Jul 17, 2012 10:53

emsbp , acho que você pode fazer assim (vamos ver que os demais usuário acham ) ,

$- 2 + \lim_{x\to +\infty} \left(2f(x) + 4x\right) = -2 + \lim_{x\to +\infty} \left[x \left(2\frac{f(x)}{x} + 4\right)\right ]$

por **skin** » Ter Jul 17, 2012 15:44

emsbp escreveu:-2+ $\lim_{x\rightarrow+\infty} (2f(x) +4x)$ .
A partir daqui, a minha dúvida reside no cálculo do limite que ficou.
Obrigado!

Para calcular esse limite, vc precisa usar a informação da assíntota, i.e, $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}-2x+1$ .

Veja:

$\lim_{x\rightarrow+\infty} (2f(x) +4x) =$

$= 2\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x) +\lim_{x\rightarrow+\infty} 4x=$

$= 2\lim_{x\rightarrow+\infty}(-2x+1)+\lim_{x\rightarrow+\infty} 4x=$

$=\lim_{x\rightarrow+\infty}[2(-2x+1)+4x]=2$

:y:

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