Plano

por **Claudin** » Sex Jul 13, 2012 18:36

Determine a distância do ponto P(2,1,3)

ao plano

Não consegui resolver esse exercício, mas o caminho seria projeção? Não encontrei a resposta correta, alguém teria alguma dica?

Analogamente vi um exercício pedindo o seguinte:
Determine a distância do ponto P(1,2,-1)

à reta

;

;

, seria da mesma forma que determinar distância de ponto ao plano?

por **DanielFerreira** » Sex Jul 13, 2012 22:44

Seja $\pi$ o plano, escolhendo um ponto qualquer

, por exemplo Q = (1,0,0)

Temos

Seque que:

$d(P, \pi) = \frac{|PQ . N|}{||N||}$

$d(P, \pi) = \frac{|(- 1,- 1, - 3).(1,- 2,1)|}{\sqrt{1 + 4 + 1}}$

$d(P, \pi) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Espero ter ajudado!

por **Claudin** » Sáb Jul 14, 2012 02:22

Muito obrigado Danjr.
Abraço

por **Claudin** » Sáb Jul 14, 2012 02:27

O segundo exemplo que eu postei logo acima, não consegui resolver pois seria uma reta na forma paramétrica

Tem alguma sugestão Danjr?

por **DanielFerreira** » Sáb Jul 14, 2012 03:17

Claudin escreveu:(...) Analogamente vi um exercício pedindo o seguinte:
Determine a distância do ponto à reta ; ; , seria da mesma forma que determinar distância de ponto ao plano?

Escolhendo um ponto

da reta, quando t = 0, teremos R = (1,5,5)

Calculando

encontramos (0,3,6)

ou

O vetor diretor da reta é v = (2,- 1,- 3)

A distância é dada por $\frac{||PR \times v||}{||v||}$

Segue que

$\frac{||PR \times v||}{||v||} =$

$\frac{||(0,1,2)\times(2,- 1,- 3)||}{||(2,- 1,- 3)||} =$

(...)

$\sqrt{\frac{41}{14}}$

por **Claudin** » Sáb Jul 14, 2012 03:51

danjr5 escreveu:Calculando encontramos ou

Não compreendi essa parte, eu encontrei (0,-3,-6)
E deu resultado muito diferente do gabarito.
Não entendi como achar (0,1,2) tbm.

O gabarito é $\frac{3\sqrt[]{6}}{2}$

por **DanielFerreira** » Sáb Jul 14, 2012 04:49

e

PR = R - P =====> PR = (1 - 1,5 - 2,5 + 1) =====> PR = (0,3,6)

Dividindo as coordenadas por três, obtemos PR = (0,1,2)

Claudin escreveu:Não compreendi essa parte, eu encontrei (0,-3,-6)

Não está errado, note que dividindo por - 3 também resultará (0,1,2)

Refiz os cálculos e percebi que errei no produto vetorial.
Considerarei PR = (0,- 3,- 6)

que dividido por - 3...

Produto vetorial encontrado (- 1,4,- 2)

que multiplicado por - 3 dá (3,- 12,6)

Acho que essa divisão acabou te confundindo, pode ignorá-la.

$d = \frac{\sqrt{9 + 144 + 36}}{\sqrt{4 + 1 + 9}}$

$d = \sqrt{\frac{189}{14}}$

$d = \sqrt{\frac{27}{2}}$

$d = \frac{3\sqrt{6}}{2}$