[Limites]Limites com funções trigonométricas

por **TuTa** » Qui Jul 12, 2012 00:22

To emperrando nuns exercicios envolvendo limites com funcoes trigonometricas

1)O valor de $\lim_{x\to\infty} \frac {2x^2 +2} {x} * sen (\frac {x} {x^2 + 1})$

Tentei separar os limites $\lim_{x\to\infty} \frac {2x^2 +2} {x}$ e $sen (\frac {x} {x^2 + 1})$ , mas continuava dando indeterminações.

Tem outro na mesma linha:

2) $\lim_{x\to0+} \frac {1} {ln x} * sen(\frac {1} {\sqrt{x}})$

Eu me enrosco todo quando tem esses limites com funçoes trigonometricas. Qual seria o macete para resolve-los?

por **e8group** » Qui Jul 12, 2012 00:58

1)

Faça $\frac{x}{x^2+1} = p$ , daí :

$\lim_{p\to 0} \frac{2}{p}sin(p) = 2$

por **TuTa** » Qui Jul 12, 2012 01:33

Poha que sacada! Vlw santhiago

Ah vc usou a identidade: $\lim_{p\to0} \frac {sen \theta} {\theta} = 1$

E nesse aki? ln 0??

2) $\lim_{x\to0+} \frac {1} {ln x} * sen(\frac {1} {\sqrt{x}})$

por **e8group** » Qui Jul 12, 2012 12:13

TuTa escreveu:E nesse aki? ln 0??

Não ! $\not\exists ln(x)$ para $x \leq 0$ entretanto $x \neq 0$ ,perceba que $x\to 0^+$ está em uma " vizinhança " do zero ,neste caso estar bem próximo a direita do zero .

Faça uma análise ,

$\lim_{x\to 0^+} ln(x) =$ " $-\infty$ " , note que " $-\infty$ " não é um número ,é apenas uma notação para denotar o comportamento que ln(x) " estar bem distante do zero a esquerda " .

$\lim_{x\to 0^+} sin\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) =$ " $sin(+\infty)$ " , perceba que " $sin(+\infty)$ " não tem como definir . Entretanto sabemos que $\exists a \in( -1,1)$ tal que $" sin(+\infty) " = a$ .

Agora ,

$\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{ln(x)} sin\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) =$ " $\frac{1}{-\infty}$ " " $sin(+\infty)$ " = " 0^-

" " $sin(+\infty)$ " . Independente de $a \in (-1,0]$ ou $a\in [0,1)$ , temos que :

$\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{ln(x)} sin\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)= 0$ .

Conclusão não existe o limite , pois os limites laterais diferem e além disso só está definido na parte real apenas valores positivos não nulos .