Funções - provar propriedade

por **emsbp** » Sáb Jul 07, 2012 17:59

Boa tarde.
O exercício é o seguinte: «Considere uma função real de varável real contínua de domínio [a,b]. Prove que a média aritmática de quaisquer dois valores da função é também um valor da função.»
Comecei por calcular a média aritmética dos valores f(a) e f(b): $\frac{f(a)+f(b)}{2}$ . Sei que temos que usar o teorema de Bolzano ou o seu corolário, mas a partir daí não sei como fazer.
Peço ajuda.
Obrigado.

por **MarceloFantini** » Sáb Jul 07, 2012 21:57

Note que $f(a) \leq \frac{f(a)+f(b)}{2} \leq f(b)$ , assumindo $f(a) \leq f(b)$ . Pelo teorema do valor intermediário, existe $c \in (a,b)$ tal que $f(c) = \frac{f(a) +f(b)}{2}$ .

Outra forma é considerar $g(x) = f(x) - \frac{(f(a)+f(b))}{2}$ , então $g(a) = \frac{2f(a) -f(a) -f(b)}{2} = \frac{f(a) - f(b)}{2} < 0$ e $g(b) = \frac{f(b)-f(a)}{2} > 0$ , pelo teorema de Bolzano existe $c \in (a,b)$ tal que g(c) = 0

, implicando $f(c) - \frac{(f(a) + f(b))}{2} = 0$ .

Importante perceber que podemos assumir sem perda de generalidade que $f(a) \leq f(b)$ . Se assumíssemos que $f(a) \geq f(b)$ a primeira resolução não mudaria nada, enquanto que na segunda a única diferença seria que g(a) > 0

e

.

por **emsbp** » Dom Jul 08, 2012 18:27

Ok. Muito obrigado!

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