[Fórmula de Leibniz] Prove por indução ...

por **e8group** » Qua Jun 27, 2012 21:28

Prove (por indução ) a fórmula de Leibniz

$\left(f . g\right)^{(n)} = \sum_{i=0}^{n} \binom {n}{i} f^{(n-i) . g^{(i)}$ , onde $\binom {n}{i} = \frac{n!}{i!\left(n-i\right)!}$ e a notação $f^{(m)}$ significa derivar a função

m-vezes .

Alguém sabe como provar por indução ?

Grato desde já !

por **MarceloFantini** » Qua Jun 27, 2012 23:21

Santhiago, o que você tentou? Provou o caso n=1

?

por **e8group** » Qua Jun 27, 2012 23:29

Sim ,meu objetivo é provar para n = 1,2,3,4,...,n . Infelizmente não estou conseguindo agora , mas vou continuar tentando até amanha eu posto minha dificuldades .obrigado pela atenção !

por **MarceloFantini** » Qua Jun 27, 2012 23:31

Eu perguntei se você conseguiu fazer a demonstração para n=1

. Este é o primeiro passo para usar indução finita.

por **e8group** » Qui Jun 28, 2012 10:15

ah ! para

sim ! , veja :

$\left(f.g\right)^{(1)} = \sum_{i=0}^{1} \binom {n}{i} f^{(n-i)} . g^{(i)} = \binom {1}{0} f^{(1)} . g^{(0)} + \binom {1}{1} f^{(0)} .g^{(1)}= f^{(1)} . g^{(0)} + f^{(0)} . g^{(1)} = \ {f}'.g +f.{g}'$

indução finita seria fazer n = (1,2,3,4,5, ..., n) ?

por **e8group** » Qui Jun 28, 2012 21:41

Continuando ....

para n = 2

$\left(f.g\right)^{(2)} = \binom{2}{0} f^{(2)}.g^{(0)} + \binom{2}{1}f^(1).g^{(1)} +\binom{2}{2}f^{(0)} .g^{(2)}$

$\left(f.g\right)^{(2)} = f^{(2) }.g^{(0)} +2f^{(1)}.g^{(1)}+f^{(0)} .g^{(2)}$ .

Para n = 1 ,2

. é verdadeiro .

Supondo a validade para

vamos provar para n+1

.

$\left(f.g\right)^{\left(n+1\right)} = \sum_{i=0}^{n+1} \binom{n+1}{i} f^{\left(n+1 -i\right)} . g^{(i)} =$

$= \binom{n+1}{0} f^{\left(n+1\right)} .g^{(0)} +...+\binom{n+1}{n+1}f^{(0)} . g^{\left(n+1\right)}$

Estou no caminho certo ?

por **e8group** » Qui Jun 28, 2012 21:43

Exercício sem resposta no livro ,não sei como que fica .

por **MarceloFantini** » Sex Jun 29, 2012 01:31

Depois de provar para n=1

não é necessário provar para n=2

. Até aí você estava certo, mas quando fez a igualdade $(fg)^{(n+1)} = \sum_{i=0}^{n+1} \binom{n+1}{i} f^{(n+1-i)}g^{(i)}$ errou, pois isto é o que você quer provar. Você deve sair de um dos lados da igualdade e chegar no outro, não assumir que é válido.

por **e8group** » Sex Jun 29, 2012 10:24

Marcelo Fantini , obrigado pela atenção . Qualquer evolução no exercício eu posto aqui .abraços .

por **brunoiria** » Sex Jun 29, 2012 19:02

bom ,eu pensei em fazer assim
$(fg)^{(n+1)}=D[(fg)^{n}]=D[\sum_{i}^{n} \binom{n}{i}f^{(n-i)}g^{(i)}] = D[f^{(n)}g]+D[nf^{(n-1)}g^{(1)}]+\dots+D[nf^{(1)}g^{(n-1)}]+D[fg^{(n)}]$
derivando cada termo e reagrupando
$f^{(n+1)}g+f^{(n)}g^{(1)}+nf^{(n)}g^{(1)}+nf^{(n-1)}g^{(2)}+\dots+nf^{(2)}g^{(n-1)}+nf^{(1)}g^{(n)}+f^{(1)}g^{(n)}+fg^{(n+1)}= f^{(n+1)}g+(n+1)f^{(n)}g^{(1)}+\frac{n(n+1)}{2}f^{(n-1)}g^{(2)}+\dots+\frac{n(n+1)}{2}f^{(2)}g^{(n-1)}+(n+1)f^{(1)}g^{(n)}+fg^{(n+1)}= \sum_{i}^{n+1} \binom{n+1}{i}f^{(n+1-i)}g^{(i)}$

por **e8group** » Sáb Jun 30, 2012 09:58

brunoiria ,tudo bem ? obrigado pela solução ! Também tive esta ideia mas acho que "escapa " um pouco da expressão geral .abraços .Em breve posto minha solução .

por **e8group** » Sáb Jun 30, 2012 10:49

Bom ,acho que agora foi !!!

Continuando ....

para n+1

.

Propriedades

I) $\binom{n-1}{i-1}+\binom{n-1}{i} = \binom{n}{i}$ (Triângulo de Pascal )

ii) $\sum_{p=0}^{n-1} x_p = \sum_{p=1}^{n} x_{p-1}$

Solução :

$\left(f.g\right)^{(n+1)} = \left(f.g\right)^{(1)} \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i}f^{(n-i)} .g^{(i)}$ .

Aplicando a distributividade de produto ,temos :

$\left(f.g\right)^{(n+1)}= f^{(n+1)} +\left(f^{(1)} .\sum_{i=1}^{n} \binom{n}{i}f^{(n-i)} .g^{(i)}\right) +g^{(n+1)} +\left(g^{(1)} .\sum_{i=0}^{n-1} \binom{n}{i}f^{(n-i)} .g^{(i)}\right)$ .

Usando propriedade ii) ,temos :

$\left(f.g\right)^{(n+1)}= f^{(n+1)} +\left(f^{(1)} .\sum_{i=1}^{n} \binom{n}{i}f^{(n-i)} .g^{(i)}\right) +g^{(n+1)} +\left(g^{(1)} .\sum_{i=1}^{n} \binom{n}{i-1}f^{(n-(i-1))} .g^{(i-1)}\right)$

$\left(f.g\right)^{(n+1)}= f^{(n+1)} +\left(\sum_{i=1}^{n}\left(\binom{n}{i} +\binom{n}{i-1}\right) f^{(n-i+1)} .g^{(i)}\right) +g^{(n+i)}$ .

Usando a Relação (Stifel) ,obtemos :

$\left(f.g\right)^{(n+1)}= f^{(n+1)} +\left(\sum_{i=1}^{n}\binom{n+i}{i} f^{(n-i+1)} .g^{(i)}\right) +g^{(n+i)}$ .

Reagrupando o Somatório :

$\left(f.g\right)^{(n+1)}= \sum_{i=0}^{n+1}\binom{n+i}{i} f^{(n-i)} .g^{(i)}$ .

por **MarceloFantini** » Sáb Jun 30, 2012 12:00

Cuidado! Você não está multiplicando derivadas. A notação confundiu você, perceba que $(fg)^{(n+1)} = \left( (fg)^{(n)} \right)'$ . Sua primeira solução está correta.

por **e8group** » Sáb Jun 30, 2012 12:19

Marcelo Fantini ,mais uma vez obrigado .realmente a notação me confundiu ,entrei em contradição orá achei que $(fg)^{(n+1)} = \left((fg)^{n}\right)'$ (que é verdadeiro) e que $(fg)^{n+1} = (fg)^{1} (fg)^{n}$ (falso ) ,neste caso eu acredito que a solução do "brunoiria" estar correta .Vou fazer novamente o mesmo .

OBS.: Exercício trabalhoso, (talvez pelo fato de ser o primeiro exercício de indução finita que faço!) mas divertido .

por **e8group** » Dom Jul 01, 2012 15:53

Consegui concluir para n+1 .

$\left(fg\right)^{n+1} = D\left[\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} f^{n-i} g^{i} \right]$ .

Expandirmos o somatório e derivando cada termo e reagrupando ,concluímos $\left(fg\right)^{n+1} = \sum_{i=0}^{n+1} \binom{n+1}{i} f^{n-i} g^{i} \right]$ , que foi exatamente que o " brunoiria " fez acima . abraços a todos !