por Russman » Qui Jun 21, 2012 22:26
quote="Livia000"]- Seja P um ponto no interior de um quadrado ABCD, tal que PA:PB:PC = 1:2:3. Ache o ângulo APB.
[/quote]
Esta foi a minha ideia:
Primeiramente, vamos renomear PA = x, PB = y ,PC = w e APB = â. Assim,
x/y = 1/2 (1)
y/w = 2/3 (2)
Seja L o lado do quadrado e o angulo BPC = b. Aplicando o Teorema dos Cossenos no triângulo APB, temos
L² = x² + y² + xy.cos(â)
que utilizando (1) se resume a
L² = x²(5 - 4cos(â)). (3)
Aplicando o mesmo teorema ao triângulo BPC, temos
L² = y² + w² -2yw,cos(b)
que utilizando a relação obtida de (1) e (2), que y=2x e w=3x, se resume a
L² = x²(13 - 12cos(b)). (4)
De (3) e (4) obtemos a primeira relação:
2= 3cos(b) - cos(a) (I).
Agora, traçando a diagonal do quadrado podemos aplicar novamente (haha) o Teorema dos cossenos e perceber que
2L² = x² + w² - 2xw.cos(a +b)
de onde, utilizando w=3x, se resume a
L² = x²(5-3cos(a+b)) (4).
Comparando essa equação com a (3), temos a segunda relação
cos(a+b) = (4/3)cos(a) (II)
Como sabemos que cos(a+b) = cos(a).cos(b) - sin(a)sin(b) e sin²(x) = 1 - cos²(x), é só sitematizar as equações (I) e (II) que obtemos uma solução.
Porém essa equação fica muito complicada de se resolver analiticamente e eu recorri a um processo computacional que calculou 126 graus aproximadamente.
Tem de ter alguma solução mais simples. ;(
"Ad astra per aspera."
por alex_08 » Dom Fev 10, 2013 21:16