Geometria Plana - Questão

[Livia000]

Olá!

Alguém poderia me ajudar nessa questão?

- Seja P um ponto no interior de um quadrado ABCD, tal que PA:PB:PC = 1:2:3. Ache o ângulo APB.

[Russman]

Você tem o gabarito. Estou calculando 126 graus.

[Livia000]

Infelizmente, não tenho o gabarito... =/

Você poderia explicar a sua ideia?

[Russman]

quote="Livia000"]- Seja P um ponto no interior de um quadrado ABCD, tal que PA:PB:PC = 1:2:3. Ache o ângulo APB.
[/quote]

Esta foi a minha ideia:

Primeiramente, vamos renomear PA = x, PB = y ,PC = w e APB = â. Assim,

x/y = 1/2 (1)
y/w = 2/3 (2)

Seja L o lado do quadrado e o angulo BPC = b. Aplicando o Teorema dos Cossenos no triângulo APB, temos

L² = x² + y² + xy.cos(â)

que utilizando (1) se resume a

L² = x²(5 - 4cos(â)). (3)

Aplicando o mesmo teorema ao triângulo BPC, temos

L² = y² + w² -2yw,cos(b)

que utilizando a relação obtida de (1) e (2), que y=2x e w=3x, se resume a

L² = x²(13 - 12cos(b)). (4)

De (3) e (4) obtemos a primeira relação:

2= 3cos(b) - cos(a) (I).

Agora, traçando a diagonal do quadrado podemos aplicar novamente (haha) o Teorema dos cossenos e perceber que

2L² = x² + w² - 2xw.cos(a +b)

de onde, utilizando w=3x, se resume a

L² = x²(5-3cos(a+b)) (4).

Comparando essa equação com a (3), temos a segunda relação

cos(a+b) = (4/3)cos(a) (II)

Como sabemos que cos(a+b) = cos(a).cos(b) - sin(a)sin(b) e sin²(x) = 1 - cos²(x), é só sitematizar as equações (I) e (II) que obtemos uma solução.

Porém essa equação fica muito complicada de se resolver analiticamente e eu recorri a um processo computacional que calculou 126 graus aproximadamente.

Tem de ter alguma solução mais simples. ;(