Integrais (áreas) [dúvida]

por **citadp** » Qua Jun 20, 2012 11:21

Boas, tenho um exercicio de exame que eu não sei como se faz.

Calcule a área das curvas y = -x^2 + 4/3

e y =

. Note que as duas curvas admitem o mesmo ponto de abcissa 1.

Ora o que eu costumava fazer era -x^2+4/3 = x^3/3

e igualava a zero e depois fazio o integral dos pontos, mas este exercicio é diferente, não sei como aplicar.

por **Russman** » Qua Jun 20, 2012 13:56

A area delimitada entre as curvas, é isso?

por **citadp** » Qua Jun 20, 2012 14:44

por **Russman** » Qui Jun 21, 2012 10:54

O primeira que você tem de fazer é calcular os pontos em que as curvas se intersectam. Estes serão seus limites de integração.

Fazendo isso, começamos com

$-x^{2} + \frac{4}{3} = \frac{x^{3}}{3} \Rightarrow x^{3}+3x^{2}-4=0$ .

Observe que x=1

é uma raíz. As outras serão , portanto, calculadas de

$x^{3}+3x^{2}-4=0 \Rightarrow (x-1)(x^{2}+4x+4) = 0 \Rightarrow (x-1)(x+2)^{2}=0$ .

Assim, os pontos que as curvas se intersectam são equivalentes a x=-2

e

.

Veja que neste intervalo a função $y=-x^{2} + \frac{4}{3}$ é sempre maior que $y=\frac{x^{3}}{3}$ .

Logo, a área delimitada pelas curvas será

$A=\int_{-2}^{1} \left (-x^{2}+\frac{4}{3}-\frac{x^{3}}{3} \right )dx$ .

Agora basta efetuar a integração.