[Limites] Limites no "infinito " prova a existência ......

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[Limites] Limites no "infinito " prova a existência ......

Mensagempor e8group » Dom Jun 17, 2012 14:37

Limites no "infinito " prova a existência de pelo menos uma raiz real ?

Considerando uma função polinomial (continua para todos reais) f definida por f(x) = \sum_{i=0}^{n} a_ix^{i} , de forma que x\to +\infty ,x\to -\infty , f(x) converge para +\infty e -\infty . Isto prova a existência de pelo menos uma raiz real ? se não ,qual seria o método ?

Obrigado !
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Re: [Limites] Limites no "infinito " prova a existência ....

Mensagempor MarceloFantini » Ter Jun 19, 2012 01:34

Evite dizer que f converge para mais ou menos infinito, diga que tende a mais ou menos infinito. Como polinômios são funções contínuas, pelo teorema do valor intermediário existe algum ponto onde ele se anula. É isso.
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Re: [Limites] Limites no "infinito " prova a existência ....

Mensagempor e8group » Ter Jun 19, 2012 11:20

MarceloFantini escreveu:Evite dizer que converge para mais ou menos infinito, diga que tende a mais ou menos infinito. Como polinômios são funções contínuas, pelo teorema do valor intermediário existe algum ponto onde ele se anula. É isso.


OK ! Agradeço pela atenção . Fazendo uma analogia entre as assíntotas verticais e horizontais , O que significa \lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty e \lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty ? Pergunto isso porque não vi ainda uma explicação para este comportamento ?

OBS .: Eu tenho um exercício de uma lista de limites que pede para mostra que todo polinômio de maior grau impar tem pelo menos uma raiz real (dica : ver limites no infinito ). Peço desculpas pelo erro da notação .abraços .
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Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



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Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59

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