Dúvida em Indução Matemática

por **Luiz Junior** » Seg Jun 18, 2012 19:45

Peço a ajuda para que alguém habilitado resolva o exercício abaixo para mim por gentileza.

Prove que: 2.1 + 2.2 + 2.3 + . . . + 2 n = n² + n, para n ? 1.

1)passo base: (eu consegui fazer)

P(1) = 2.1+2.2+2.3+...+2.1= ${1}^{2}$ +1=2, é verdadeiro para n=1

2) passo indutivo:

Para n= k, teremos: 2.1 + 2. 2 + 2.3 + . . . + 2k = k² + k, k ? 1

Deve-se mostrar que: 2 .1 +2.2 + 2.3 + . . . + 2k + 2 ( k + 1)= ( k² +1 )² + k + 1

Continue a demonstração.....

Daqui pra frente que não consigo fazer!

Desde já agradeço pela atenção e colaboração.

por **MarceloFantini** » Seg Jun 18, 2012 23:32

Bastava perceber que $2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + \ldots + 2 \cdot n = 2 \cdot (1+2+\ldots+n) = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n^2 +n$ .

Continuando da sua demonstração, note que $2 \cdot (1+2+\ldots + n + n+1) = 2 \cdot (1+2+\ldots +n) + 2(n+1)$ que por hipótese temos $2(1+2+\ldots+n) = n^2+n$ , daí

$2\cdot(1+2+\ldots+n) + 2(n+1) = n^2 +n + 2(n+1) = n^2 +n + 2n + 2 =$
= n^2 +2n +1 + n + 1 = (n+1)^2 + (n+1)