[Função exponencial] Não entendi como chegou a formula

por **Leti Moura** » Ter Jun 12, 2012 21:16

Cada golpe de uma bomba extrai 10% de óleo de um tanque. A capacidade do tanque é 1m³ e, inicialmente, está cheio.
a) Após o 5º golpe, qual é o valor mais próximo para o volume de óleo que permanece no tanque?
b)Qual é a lei da função que representa o volume de óleo que permanece no tanque após n golpes?

Eu entendo que sempre que há um golpe extrai 10%(0,1) do volume que está no tanque, ficando 90%(o,9). Mas eu não entendo por que a fórumla é f(n)=1.(0,9)^n

por **Fabricio dalla** » Ter Jun 12, 2012 22:45

isso é igual a formula de juros composto
$M=c{\left(1-i \right)}^{n}$

c= o que vc tem (1 m cubico) que no juros composto é seu capital
i=juros alli no caso ele sempre tira 10%(0,1 do que vc tem)
M=montante que no caso e f(x)
n=os golpes
obs dependendo da questão o i pode ser negativo ou positivo nesse caso e negativo porque esta tirando de algo

por **Russman** » Qua Jun 13, 2012 00:57

Existem duas formas, na minha opinião, de resolver esse problema. A primeira é observando o comportamento do volume de óleo do tanque para um número finito de golpes. Este, a fim de identificar um padrão e modelar uma função V(n)

que calcule o volume de óleo do tanque após o n-ésimo golpe. A segunda forma é identificar uma relação básica de recorrência, que existe pro trás do problema, e solucioná-la.

Pela primeira forma:
Veja que V(0)

representa o volume inicial de óleo no tanque, isto é, antes de iniciados os golpes. Portanto, temos a sequência de

volumes sucessivos de óleo no tanque dada por $V(n)=\begin{Bmatrix} V(0),V(1),V(2),V(3),...,V(N) \end{Bmatrix}$

Como cada golpe extrai 10% do volume do tanque, então temos, para V(1)

a relação $V(1) = V(0) - \frac{10}{100}V(0) = V(0)(1-0,1)= 0,9.V(0)$ .
Para V(2)

então teremos $V(2) = V(1) -\frac{10}{100}V(1) = 0,9.V(1) = 0,9^{2}V(0)$ .
Você não tardará em perceber que é válida para esta a relação $V(n) = V(0).(0,9)^{n}$ .

Pela segunda forma:
É fato que o volume de óleo no tanque do n-ésimo golpe tira 10% do volume de óleo que existia no tanque após o (n-1)-ésimo golpe. Assim, temos a seguinte equação recorrênte:

V(n) = V(n-1)-0,1V(n-1) = V(n-1).(0,9)

.

Para solução desta suponhamos uma função do tipo $V(n) = c.L^{n}$ , onde c é uma constante arbitrária e L um valor a ser determinado real ou complexo. Aplicando esta hipótese na equação obtemos

$c.L^{n} = c.L^{n}.L^{-1}.(0,9)\Rightarrow c.L^{n}= c.L^{n}((0,9)L^{-1})$ .

Supondo que $L\neq 0$ , pois nesse caso a solução seria trivial, podemos simplificar $c.L^{n}$ na equação e obtemos L=0,9

.

Portanto a solução da equação é $[tex]V(n) = c.(0,9)^{n}$ [/tex] onde c = V(0)

, pois $V(0) = c.(0,9)^{0} = c$ .

Exatamente a mesma solução que obtivemos por inspeção!

Para resolver a letra a) basta susbtituir n=5

.

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